Derive:

c )   f x = x sin ⁡ x 5 - x 2 3

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = x sin ⁡ x 5 - x 2 3

E queremos derivar! Você lembra das regras de derivação?

Temos um produto entre funções (polinômio e trigonométrica), então vamos lembrar da regra do produto

a b ' = a ' b + b ' a

Beleza? Agora é só identificar quem é a e b na nossa função, derivas e substituir na regra!

Bora lá!

Passo 2

Nossa função

f x = x sin ⁡ x 5 - x 2 3

Temos que

a = x

a ' = 1

b = sin ⁡ x 5 - x 2 3

Aqui para achar b ' vamos usar a regra da cadeia, já que temos dentro do seno, uma raiz: derivar a de fora (seno) conservando o argumento de dentro (raiz cúbica), depois derivar a raiz (com seu argumento) e por fim multiplicar pela derivada do polinômio de dentro da raiz:

b ' = cos ⁡ x 5 - x 2 3 .   1 3 x 5 - x 2 2 3 . 5 x 4 - 2 x

Beleza?

Agora vamos substituir na regra do produto

a b ' = a ' b + b ' a

f ' x =

f ' x = 1 . sin ⁡ x 5 - x 2 3 + x . cos ⁡ x 5 - x 2 3 .   1 3 x 5 - x 2 2 3 . 5 x 4 - 2 x

Organizando um pouquinho ficamos com

f ' x = sin ⁡ x 5 - x 2 3 + 5 x 5 - 2 x 2 cos ⁡ x 5 - x 2 3 3 x 5 - x 2 2 3

E é isso! Até a próxima!

Resposta

f ' x = sin ⁡ x 5 - x 2 3 + 5 x 5 - 2 x 2 cos ⁡ x 5 - x 2 3 3 x 5 - x 2 2 3

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