Determine a derivada de cada função:

(10) h x = 5 x + x x - 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a derivada da função:

h x = 5 x + x x - 1

Logo de cara, a gente percebe que isso é uma soma de funções. E a derivada da soma é igual a soma das derivadas. No primeiro termo dessa soma, temos 5 x , que nós conseguimos derivar apenas usando a regrinha da potência, d d x x n = n x n - 1 .

Já no segundo termo, temos um quociente x x - 1 . Então, nada mais justo que usar a regrinha do quociente na derivação. Lembra dela? Se não lembra, vamos relembrar:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' ( x ) g x 2

Onde f ( x ) é o nosso numerador e g ( x ) é o nosso denominador. Assim, basta seguir as fórmulas e ir substituindo as derivadas.

Vamos lá!

Passo 2

A derivada da nossa função vai ser dada por:

h ' x = 5 x + x x - 1 ' = 5 x ' + x x - 1 '

Em 5 x ' , vamos aplicar a regrinha da potência:

h ' x = 5 x 1 - 1 + x x - 1 '

h ' x = 5 x 0 + x x - 1 '

E qualquer número elevado a zero é igual a 1 . Então, temos:

h ' x = 5 + x x - 1 '

Na derivada do segundo termo, vamos usar a regra do quociente:

h ' x = 5 + x ' x - 1 - x x - 1 ' x - 1 2

Mas a derivada de x e de x - 1 são iguais a 1 (também pela regra da potência). Assim, vamos ter:

h ' x = 5 + 1 ∙ x - 1 - x ∙ 1 x - 1 2

h ' x = 5 + x - 1 - x x - 1 2

Simplificando:

h ' x = 5 - 1 x - 1 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

5 - 1 x - 1 2

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