Determine a derivada das funções abaixo

o )   f x = x 3 + s e n   x x 3 - s e n   x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu essa função aqui

f x = x 3 + s e n   x x 3 - s e n   x

E pediu a derivada!

Assim que você olhar uma função que tem uma divisão precisa pensar logo na REGRA DO QUOCIENTE!

A regra do quociente nos diz como derivar uma função que pode ser escrita como uma divisão de duas outras funções.

Por exemplo, a derivada de uma divisão de duas funções h g ' :

h g ' = h ' g - g ' h g 2

A ideia aqui é identificar quem são essas funções f e g no nosso exercício, calcular a derivada de cada uma delas e jogar os resultados (e as funções) na regra do produto

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

O exercício pediu a derivada dessa função

f x = x 3 + s e n   x x 3 - s e n   x

Então a função de cima da regra do quociente h é ( x 3 + s e n x ) e a debaixo g é ( x 3 - s e n x ) .

Para a regra do quociente precisamos das derivadas dessas duas partes, então é isso que vamos fazer agora

Primeiro a h = x 3 + s e n   x

h ' = 3 x 2 + cos ⁡ x

Beleza?

Agora a g = x 3 - s e n x

g ' = 3 x 2 - cos ⁡ x

Tranquilo?

Passo 3

Juntando os resultados, vamos aplicar na regra do quociente

h g ' = h ' g - g ' h g 2

Com h = x 3 + s e n   x com h ' = 3 x 2 + cos ⁡ x , e g = x 3 - s e n x e sua respectiva derivada g ' = 3 x 2 - cos ⁡ x . Aí a derivada de f x é:

f ' x = x 3 + s e n   x   x 3 - s e n x ' = 3 x 2 + cos ⁡ x . x 3 - s e n x - 3 x 2 - cos ⁡ x . ( x 3 + s e n   x ) x 3 - s e n x 2

Podemos juntar os termos semelhantes no numerador e deixar nossa derivada um pouco mais simpática

f ' x = 2 x 3 cos ⁡ x - 6 x 2 s e n   x x 3 - s e n x 2

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

f ' x = 2 x 3 cos ⁡ x - 6 x 2 s e n   x x 3 - s e n x 2

Exercícios de Livros Relacionados

Se h 2 = 4 e h ' 2 = - 3 , encontre d d x h x x | x = 2
Se f x = e x g x , onde g 0 = 2 e g ' 0 = 5 , encontre f ' 0 .
Se g for uma função derivável, encontre uma expressão para derivada de cada uma das seguintes funções. y = x g ( x ) y = x g x y = g x x
62. a) Se F x = f x g x , onde f e g tên derivadas de todas as ordens, mostre que F ' ' = f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' ' . b) Encontre fórmulas análogas para F ' ' ' e F 4 .c) Conjecture uma fórmula pa
Derive a função: R t = ( t + e t ) ( 3 - t )