Dizemos que x 0 é uma raiz dupla de uma função polinomial f se f ( x )   =   ( x − x 0 ) 2 g ( x ) , para alguma outra função polinomial g .

a. Mostre que x 0 é raiz dupla de f se e somente se x 0 é raiz tanto de f quanto de f ′.

b. Quando f ( x )   =   a x 2 + b x + c tem raiz dupla? Interprete geometricamente.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que, considerando que x 0 é uma raiz dupla de uma função polinomial f se f ( x )   =   ( x − x 0 ) 2 g ( x ) , para alguma outra função polinomial g , vamos precisar mostrar e verificar os itens:

a. Mostre que x 0 é raiz dupla de f se e somente se x 0 é raiz tanto de f quanto de f ′.

b. Quando f ( x )   =   a x 2 + b x + c tem raiz dupla? Interprete geometricamente.

Para isso, vamos derivar essa função f no item a, e vamos fatorar a f ( x )   =   a x 2 + b x + c no item b. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos resolver o item a. Para isso vamos derivar f, usando a regra do produto:

f ' ( x )   = d d x   [ ( x − x 0 ) 2 g ( x ) ] = 2 ( x - x 0 ) g ( x ) + ( x - x 0 ) 2 g ' ( x )

temos que em x = x 0 :

f ' ( x 0 )   = 2 ( x 0 - x 0 ) g ( x ) + ( x 0 - x 0 ) 2 g ' ( x 0 ) = 0

e

f ( x 0 ) = ( x 0 − x 0 ) 2 g ( x 0 ) = 0

então, x 0 é a raiz da função e da sua derivada.

Passo 3

Agora,vamos fatorar a função f ( x )   =   a x 2 + b x + c para resolver o item b. Para fatorar temos que encontrar as raízes da função, calculando a bhaskara:

x ± = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

temos que a função terá raiz dupla x ± = - b 2 a se o delta Δ = b 2 - 4 a c for igual a zero, para isso acontecer, temos que

b 2 = 4 a c

Temos que quando delta Δ é igual a zero o ponto de máximo ou mínimo dessa parábola toca o eixo x, por isso a raiz é dupla, pois ela também é o ponto de máximo ou mínimo, sendo também a derivada da função igual a zero.

.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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