Encontre d 9 d x 9 de

f x = x 8 ⋅ l n ⁡ ( x )

Passo 1

Em cada passo será calculada uma derivada, note que sempre será utilizada a regra do produto, ou seja F = f x ⋅ g ( x ) , então F ' = f ' x ⋅ g x + f x ⋅ g ' ( x ) . Sabe-se que, se h x = l n ⁡ ( x ) então h ' x = 1 x . Todas essas informações serão usadas em todos os passos, elas não estarão expressas nos passos a fim de agilizar os cálculos.

Vamos calcular a primeira derivada.

f ' x = 8 x 7 ⋅ ln ⁡ x + x 8 ⋅ 1 x

f ' x = 8 x 7 ⋅ ln ⁡ x + x 7

Passo 2

Agora, vamos para a segunda derivada, usando a regra do produto

f ' ' x = 8 ⋅ 7 x 6 ⋅ ln ⁡ x + 8 x 7 ⋅ 1 x + 7 x 6

f ' ' x = 56 x 6 ⋅ ln ⁡ x + 8 x 6 + 7 x 6 = 56 x 6 ln ⁡ x + 15 x 6

Passo 3

Agora, vamos para a terceira derivada

f ' ' ' x = 336 x 5 ⋅ ln ⁡ x + 56 x 5 + 90 x 5

f ' ' ' x = 336 x 5 ⋅ ln ⁡ x + 146 x 5

Passo 4

A quarta derivada

f 4 x = 1680 x 4 ⋅ ln ⁡ x + 336 x 4 + 730 x 4

f 4 x = 1680 x 4 ⋅ ln ⁡ x + 1066 x 4

Passo 5

A quinta derivada

f 5 x = 6720 x 3 ⋅ ln ⁡ x + 1680 x 3 + 4264 x 3

f 5 x = 6720 x 3 ⋅ ln ⁡ x + 5944 x 3

Passo 6

Passo 7

A sexta derivada

f 6 x = 20160 x 2 ⋅ ln ⁡ x + 6720 x 2 + 17832 x 2

f 6 x = 20160 x 2 ⋅ ln ⁡ x + 24552 x 2

Passo 8

A sétima derivada

f 7 x = 40320 x ⋅ ln ⁡ x + 20160 x + 49104 x

f 7 = 40320 x ⋅ ln ⁡ x + 69264 x

Passo 9

A oitava derivada

f 8 x = 40320 ⋅ ln ⁡ x + 40320 + 69264

f 8 x = 40320 ⋅ ln ⁡ x + 109584

Passo 10

A nona derivada

f 9 x = 40320 x

Passo 11

Resposta

d 9 d x 9 x 8 ln ⁡ x = 40320 x

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