Encontre a derivada das funções abaixo de duas formas (aplicando diretamente uma regra ou simplificando/multiplicando primeiro e aplicando outra regra) e verifique que o resultado é o mesmo

b )   f x = 1 x 2 - 3 x 4 x + 5 x 3

Passo 1

E ai galera, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema pediu para calcularmos a derivada da função f x

f x = 1 x 2 - 3 x 4 x + 5 x 3

Por duas formas:

  1. simplificando antes a função (deixando-a mais simples) e derivando (usando alguma regra de derivação), e
  2. derivando a função do jeito que ela está (sem simplificar nada), usando outra regra

A ideia desse exercício é verificar que, seja por qual caminho você siga, se derivar tudo certinho, o resultado vai ser o mesmo!

Repare que essa função é um produto entre polinômios. E assim a gente pode simplificar termo a termo, aplicar a regra de derivação de uma potência, ou sem simplificar, aplicar a regra do produto, já que se trata de uma multiplicação de funções.

Passo 2

Vamos fazer a derivada do primeiro jeito, simplificando a função antes de derivá-la. A função é

f x = 1 x 2 - 3 x 4 x + 5 x 3

Aplicando a multiplicação distributiva temos

f x = x x 2 - 3 x x 4 + 5 x 3 x 2 - 15 x 3 x 4

f x = x - 1 - 3 x - 3 + 5 x - 15 x - 1

Agora precisamos derivar essa função aplicando a regra da potência:

f ' x = - x - 2 + 9 x - 4 + 5 + 15 x - 2

E juntando os termos semelhantes:

f ' x = 9 x - 4 + 14 x - 2 + 5

Vamos guardar esse resultado!

O próximo passo é derivar a função novamente, mas sem simplificar!

Vamos lá?

Passo 3

A função sem simplificar é assim:

f x = 1 x 2 - 3 x 4 x + 5 x 3

Ela pode ser vista como o produto de duas outras funções g e h :

f x = g x h ( x )

E a derivada de uma função assim pode ser encontrada aplicando a regra do produto:

f ' x = g ' x h x + h ' x g x

No nosso caso

g x = 1 x 2 - 3 x 4 = x - 2 - 3 x - 4

E a derivada é:

g ' x = - 2 x - 3 + 12 x - 5

E a função h ( x ) é:

h x = x + 5 x 3

cuja derivada é

h ' x = 1 + 15 x 2

Agora é só aplicar essas funções/derivadas na regra do produto:

f ' x = g ' x h x + h ' x g x

f ' x = - 2 x - 3 + 12 x - 5 x + 5 x 3 + ( 1 + 15 x 2 ) ( x - 2 - 3 x - 4 )

Parece horrível! Mas se estamos certos, ao simplificarmos essa função, o resultado será o mesmo que encontramos no passo 2!

Passo 4

Agora bora simplificar esse resultado

f ' x = - 2 x - 3 + 12 x - 5 x + 5 x 3 + ( 1 + 15 x 2 ) ( x - 2 - 3 x - 4 )

Fazendo as multiplicações:

f ' x = - 2 x - 2 + 12 x - 4 - 10 + 60 x - 2 + x - 2 - 3 x - 4 + 15 - 45 x - 2

Agora só falta simplificar! A ideia é juntar os termos semelhantes:

f ' x = x - 2 - 2 + 60 + 1 - 45 + x - 4 12 - 3 + ( - 10 + 15 )

f ' x = 14 x - 2 + 9 x - 2 + 5

E comparando com a resposta que encontramos no passo 2:

f ' x = 9 x - 4 + 14 x - 2 + 5

Obtemos o mesmo resultado!

Que legal né!

Espero ter te ajudado! Até a próxima!

Resposta

f ' x = 9 x - 4 + 14 x - 2 + 5

Exercícios de Livros Relacionados

Se h 2 = 4 e h ' 2 = - 3 , encontre d d x h x x | x = 2
Se f x = e x g x , onde g 0 = 2 e g ' 0 = 5 , encontre f ' 0 .
Se g for uma função derivável, encontre uma expressão para derivada de cada uma das seguintes funções. y = x g ( x ) y = x g x y = g x x
62. a) Se F x = f x g x , onde f e g tên derivadas de todas as ordens, mostre que F ' ' = f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' ' . b) Encontre fórmulas análogas para F ' ' ' e F 4 .c) Conjecture uma fórmula pa
Derive a função: R t = ( t + e t ) ( 3 - t )