1)

b) Encontre y ' , onde y é dada implicitamente por

e y cos ⁡ x = 1 + sen ⁡ x y

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?

Bom, essa questão pede pra gente calcular a deriva de y , mas ela dá uma função onde y não está isolado do lado esquerdo, como normalmente acontece, e não conseguimos facilmente isolar.

Quando isso acontece, teremos que fazer a derivada de modo implícito. Isso significa que devemos fazer a derivada seguindo a ordem normal da função e pensando no y como uma função de x . Assim, quando ele aparecer e precisarmos da sua derivada, colocaremos y ' no lugar. Ok?

Então esse é o plano. Vem que te mostro como fazer.

Passo 2

Para resolver essa derivada diferentona aí teremos que derivar dos dois lados da equação. Faremos assim

e y cos ⁡ x ' = 1 + sen ⁡ x y '

Vamos por etapas!

Perceba que do lado esquerdo da equação temos um produto entre duas funções, a função e y e a função cos ⁡ x . Sendo assim, precisaremos usar a regra do produto para fazer essa derivação.

Essa regra diz que, se

f x = g x ⋅ h x

f ' x = g x ' ⋅ h x + g x ⋅ h ' x

Usando a regra, ficamos com

e y cos ⁡ x ' = e y ' cos ⁡ x + e y ( cos ⁡ x ) '

Para a derivada de e y , temos que pensar que é uma regra da cadeia, já que y é uma função de x . Assim

e y cos ⁡ x ' = e y y ' cos ⁡ x + e y - sin ⁡ x

Ajeitando um pouco mais, teremos

e y cos ⁡ x ' = y ' e y cos ⁡ x - e y sin ⁡ x

Show de bola. Já temos a primeira parte, vamos agora para o lado direito da equação.

Passo 3

No lado direito temos

1 + sen ⁡ x y '

Como é uma soma, podemos abrir as derivadas em

1 ' + sen ⁡ x y '

A derivada de 1 é igual a zero, já que 1 é uma constante. Já a derivada de sen ⁡ x y deve ser feita usando uma combinação da regra da cadeia com a regra do produto. Assim

1 + sen ⁡ x y ' = sen ' ⁡ x y ⋅ x y '

Onde para x y ' precisaremos da regra do produto. Assim, teremos

1 + sen ⁡ x y ' = cos ⁡ x y ⋅ x ' y + x y '

E ficamos com

1 + sen ⁡ x y ' = cos ⁡ x y ⋅ y + x y '

1 + sen ⁡ x y ' = y cos ⁡ x y + x y ' cos ⁡ x y

E depois de fazer a derivada dos dois lados, nos resta juntar e organizar esses resultados.

Passo 4

A derivada que estávamos procurando era:

e y cos ⁡ x ' = 1 + sen ⁡ x y '

Vimos que

e y cos ⁡ x ' = y ' e y cos ⁡ x - e y sin ⁡ x

E

1 + sen ⁡ x y ' = y cos ⁡ x y + x y ' cos ⁡ x y

Então:

y ' e y cos ⁡ x - e y sin ⁡ x = y cos ⁡ x y + x y ' cos ⁡ x y

Podemos deixar os termos que tem y ' isolados do lado direito

y ' e y cos ⁡ x - x y ' cos ⁡ x y = y cos ⁡ x y + e y sin ⁡ x

Colocando y ' em evidência

y ' e y cos ⁡ x - x cos ⁡ x y = y cos ⁡ x y + e y sin ⁡ x

E isolando y ' , teremos finalmente nosso resultado

y ' = y cos ⁡ x y + e y sin ⁡ x e y cos ⁡ x - x cos ⁡ x y

E prontinho! Encontramos nossa resposta!

Resposta

y ' = y cos ⁡ x y + e y sin ⁡ x e y cos ⁡ x - x cos ⁡ x y

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