Explicite as derivadas de

b )   f x = cotan ⁡ x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = cotan ⁡ x

E pediu para calcularmos sua derivada

e agora, você lembra das regras de derivação?

Temos três regras principais, pra isso precisamos verificar se temos um produto de funções, um quociente de funções ou se nossa função é composta:

  • Produto de funções: a b ' = a ' b - b ' a
  • Quociente de funções: a b ' = a ' b - b ' a b 2
  • Função composta: a b ' = a ' b .   b '

belezinha?

Agora é só olhar pra nossa função com mais carinho e #partiu derivada! Lembrando sempre da tabela de derivada das funções! Show!

Bora lá!

Passo 2

Nossa função pode ser definida por:

f x = cotan ⁡ x = 1 tan ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x  

Temos uma razão de funções: cosseno em cima e seno embaixo! Então precisamos aplicar quociente

a = cos ⁡ x

a ' = - sin ⁡ x

b = sin ��� x

b ' = cos ⁡ x

b 2 = sin 2 ⁡ x

Agora aplicando na regra do quociente

f ' x = - sin ⁡ x . sin ⁡ x - cos ⁡ x . cos ⁡ x sin 2 ⁡ x = - ( sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x ) sin 2 ⁡ x

Lembrando que sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 e que cosec ⁡ x = 1 sin ⁡ x , podemos só organizar um pouquinho

f ' x = - 1 sin 2 ⁡ x = - cosec 2 ⁡ x

E está aí a derivada da cotangente que encontramos nas tabelas!

E é isso! Até a próxima!

Resposta

f ' x = - cosec 2 ⁡ x

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