Nos itens abaixo, calcule a derivada até a ordem n indicada.

f x = 1 x - 1 ,   n = 4

Passo 1

Bem, o enunciado pede pra gente derivar a função até a ordem, 4, ou seja, ela quer que a gente derive essa função f ( x ) por quatro vezes.

Note que temos aqui uma função que ela pode ser escrita de outra forma, se liga:

f x = 1 x - 1 = x - 1 - 1

Se você aplicar agora a regra da cadeia (derivada da de fora vezes a derivada da de dentro), você vai ter a seguinte derivada:

f ' x = - 1 x - 1 2 d d x x - 1

f ' x = - 1 x - 1 2 1 = - 1 x - 1 2

Passo 2

Note uma coisa, se você colocar novamente a f ' x = 1 - x - 2 e derivar mais uma vez, você vai ter que:

f ' ' x = 2 x - 1 3 d d x x - 1 = 2 x - 1 3

Note que essa derivada foi a nossa segunda derivada, ou seja, n = 2 . Note também que a derivada segunda foi feita assim de forma genérica:

f n x = - 1 n n x - 1 n + 1 ⋅ ( n - 1 )

Então nossa derivada com n = 4 , teremos f ' ' ' ' x = - 1 4 4 x - 1 4 + 1 ⋅ ( 6 )

f ' ' ' ' x = - 24 x - 1 5

Resposta

f ' ' ' ' x = - 24 x - 1 5

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