O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno. Suponha que a equação do movimento de um ponto sobre essa mole é:

s t = 2 e - t 2   s e n ( t )

em que s é medida em centímetros e t em segundos.

Encontre a velocidade após t segundos.

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafio?

Primeiro vamos lembrar do entendimento físico do que é velocidade: variação da posição/deslocamento em relação ao tempo.

No nosso caso, o deslocamento foi dado pela equação s ( t ) , então, para calcular a velocidade precisamos fazer d s d t .

Passo 2

Fazendo essa derivação, temos:

d s d t = d d t 2 e - t 2 s e n ( t )

Como temos duas funções multiplicando uma com a outra, precisamos aplicar a regra do produto aqui, certo? E o que essa regra nos diz é que:

f ( t ) . g ( t ) ' = f ' ( t ) g + f g ' ( t )

Então, uma das primeiras coisas que precisamos fazer é identificar quem será nossa f ( t ) e quem será nossa g ( t ) . Vamos então escolher f t = e - t 2 e g t = s e n ( t )

Passo 3

Agora vamos encontrar as derivadas dessas funções!!!

f t = e - t 2

Sabe-se que a derivada de e u é igual a e u d u . Em outras palavras, a derivada da função exponencial é basicamente pegar o expoente, derivar, e depois multiplicar pela função original.

No nosso caso, o nosso expoente é - t / 2 , então se derivarmos esse cara em função de t, teremos - 1 / 2 , certo?

Ao final, nossa derivada de f ( t ) vai ser

f ' t = - 1 2 e - t 2

Derivando g ( t ) , temos:

g ' t = c o s ⁡ ( t )

Substituindo na definição da regra do produto, vamos ter que:

d s d t = d d t 2 e - t 2 s e n ( t )

d s d t = 2 - 1 2 e - t 2 s e n t + cos ⁡ t e - t 2

Portanto, essa é a velocidade:

v = 1 2 cos ⁡ t e - t 2 - s e n t e - t 2

v t = 1 2 cos ⁡ t - s e n t e - t 2

Resposta

v t = 1 2 cos ⁡ t - s e n t e - t 2

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