Q12. Considere g x = f x x , com f x uma função duas vezes diferenciável. Então, a função g x é duas vezes diferenciável e satisfaz.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema foi dada a função g x = f x x e nosso objetivo é calcular a segunda derivada de g .

Lembra como fazemos isso? 🤔

No caso, g x é o produto das funções f x e x e portanto, para calcular a derivada de g , temos que aplicar a regra do produto.

A regra do produto é calculada a partir da formulinha

f x = g x · h x → f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando a primeira derivada de g x = f x x a partir da regra do produto, temos

g ' x = f ' x · x + f x · d x d x

g ' x = f ' x · x + f x · 1 2 x

Derivando novamente pelo mesmo método temos...

g ' ' x = f ' ' x · x + f ' x · d x d x + f ' x · 1 2 x + f x · d 1 2 x d x

g ' ' x = f ' ' x x + f ' x · 1 2 x + f ' x · 1 2 x - f x · 1 4 x x

g ' ' x = f ' ' x x + f ' x · 1 x - f x · 1 4 x x

Comparando com as alternativas do problema, temos que a alternativa correta é dada por

d )   g ' ' x = f ' ' x x + f ' x x - f x 4 x x

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

d )   g ' ' x = f ' ' x x + f ' x x - f x 4 x x

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