C8. Seja g uma função diferenciável. Determine uma expressão para a derivada das funções abaixo.

a) y = x g ( x )

b) y = x g x

c) y = g x x

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Nesse problema a gente não conhece a cara de g , a gente só sabe que ela é uma função diferenciável... isso significa que g ' ( x ) existe.

Sabendo disso, a gente trata g como uma função qualquer e usa as regras de derivação para encontrar aquelas derivadas das funções que o problema está pedindo, beleza?Partiu!!

Passo 2

  1. Para y = x   g ( x ) , temos o produto de duas funções, então a gente usa a regra do produto:
  2. u v ' = u ' v + u v ' Fazendo isso temos:

    y ' = x ' g x + x   g ' x

    y ' = g x + x g ' ( x )

    Passo 3

  3. Para y = x g x , temos que usar a regra do quociente:
  4. u v ' = u ' v - u v ' v 2

    Fazendo isso temos:

    y ' = x ' g x - x g ' ( x ) g x 2 y ' = g x - x g ' ( x ) g x 2

    Passo 4

  5. Para y = g ( x ) x , temos que usar a regra do quociente:

u v ' = u ' v - u v ' v 2

Fazendo isso temos:

y ' = g ' x x - g ( x ) x ' x 2 y ' = x g ' x - g ( x ) x 2

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

a )   y ' = g x + x g ' ( x )

b )   y ' = g x - x g ' x g x 2

c ) y ' = x g ' x - g ( x ) x 2  

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