1. Use o exercício anterior e a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
  1. cossec ⁡ x = 1 s e n x

Passo 1

Olá, galerinhaa!!! Vamos lá? Aqui nesta questão, vamos revisar alguns conteúdos de Cálculo 1, mais especificamente os conceitos de derivadas de funções trigonométricas e a regra para derivada do quociente de duas funções.

Assim, temos que a derivada da função seno é a função cosseno e a derivada da função cosseno é o negativo da função seno. Ou seja,

s e n x ' = cos ⁡ x cos ⁡ x ' =   - s e n x

Já a regra da derivada do quociente diz que se temos uma função h x = f x g x , ou seja, uma função que pode ser escrita como o quociente de outras duas funções, então

h ' x = f ' x ∙ g x - f x ∙ g ' x f 2 ( x ) onde, f ' x e g ' ( x ) são as derivadas das funções f ( x ) e g ( x ) .

Passo 2

Vamos agora observar a função cossecante

Nela podemos fazer f x = 1 e g x = s e n ( x ) . Agora basta aplicarmos a regra da derivada do quociente e as derivadas trigonométricas básicas. Logo,

h ' x = c o s s e c x ' = 1 ' ∙ s e n x - 1 ∙ ( s e n x ) ' s e n 2 ( x ) = - cos ⁡ x s e n 2 x = - cos ⁡ x s e n x ∙ 1 s e n x = - c o t g x ∙ c o s s e c ( x )

Resposta

c. c o s s e c x ' = - c o t g x ∙ c o s s e c x

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