1. Use o exercício anterior e a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
  1. cotg ⁡ x = c o s ⁡ ( x ) s e n x

Passo 1

Olá, galerinhaa!!! Vamos lá? Aqui nesta questão, vamos revisar alguns conteúdos de Cálculo 1, mais especificamente os conceitos de derivadas de funções trigonométricas e a regra para derivada do quociente de duas funções.

Assim, temos que a derivada da função seno é a função cosseno e a derivada da função cosseno é o negativo da função seno. Ou seja,

s e n x ' = cos ⁡ x cos ⁡ x ' =   - s e n x

Já a regra da derivada do quociente diz que se temos uma função h x = f x g x , ou seja, uma função que pode ser escrita como o quociente de outras duas funções, então

h ' x = f ' x ∙ g x - f x ∙ g ' x f 2 ( x ) onde, f ' x e g ' ( x ) são as derivadas das funções f ( x ) e g ( x ) .

Passo 2

Vamos agora observar a função cotangente

Nela podemos fazer f x = c o s ⁡ ( x ) e g x = s e n ( x ) . Agora basta aplicarmos a regra da derivada do quociente e as derivadas trigonométricas básicas. Logo,

h ' x = c o t g x ' = c o s ⁡ ( x ) ' ∙ s e n x - c o s ( x ) ∙ ( s e n x ) ' s e n 2 ( x ) = - s e n x ∙ s e n x - cos ⁡ x ∙ c o s ⁡ ( x ) s e n 2 x = - ( sen 2 x + cos 2 ⁡ x ) s e n 2 x ∙ - 1 s e n 2 x = - 1 s e n x 2 = - c o s s e c 2 ( x )

Resposta

d. c o t g x ' = - c o s s e c 2 ( x )

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