1. Use o exercício anterior e a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
  1. f x = cos ⁡ x + x 2 + 1 ∙ s e n ( x )

Passo 1

Olá, galerinhaa!!! Vamos lá? Aqui nesta questão, vamos revisar alguns conteúdos de Cálculo 1, mais especificamente os conceitos de derivadas de funções trigonométricas e a regra para derivada do produto de duas funções.

Assim, temos que a derivada da função seno é a função cosseno e a derivada da função cosseno é o negativo da função seno. Ou seja,

s e n x ' = cos ⁡ x cos ⁡ x ' =   - s e n x

Já a regra da derivada do quociente diz que se temos uma função h x = f x ∙ g ( x ) , ou seja, uma função que pode ser escrita como o quociente de outras duas funções, então

h ' x = f ' x ∙ g x + f x ∙ g ' x onde, f ' x e g ' ( x ) são as derivadas das funções f ( x ) e g ( x ) .

Passo 2

Vamos agora observar a função que nós temos.

f x = cos ⁡ x + x 2 + 1 ∙ s e n ( x )

Aqui podemos usar inicialmente a propriedade da derivada que diz que a derivada da soma é igual à soma das derivadas. Logo,

f ' x = cos ⁡ x ' + x 2 + 1 ∙ s e n x '

Agora aplicamos as derivadas trigonométricas básicas e a propriedade da derivada do produto, e ficamos com,

f ' ( x ) = - s e n x + 2 x + 0 ∙ s e n x + x 2 + 1 ∙ cos ⁡ x = s e n x ∙ 2 x - 1 + cos ⁡ x ∙ x 2 + 1 .

Então é isso pessoal, até a próximaa!!

Resposta

  1. f ' x = s e n x ∙ 2 x - 1 + cos ⁡ x ∙ x 2 + 1

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