1. Use o exercício anterior e a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.

e. f x = e x ∙ s e n x - 4 x

Passo 1

Olá, galerinhaa!!! Vamos lá? Aqui nesta questão, vamos revisar alguns conteúdos de Cálculo 1, mais especificamente os conceitos de derivadas de funções trigonométricas e a regra para derivada do produto e do quociente de duas funções.

Assim, temos que a derivada da função seno é a função cosseno e a derivada da função cosseno é o negativo da função seno. Ou seja,

s e n x ' = cos ⁡ x cos ⁡ x ' =   - s e n x

Já a regra da derivada do quociente diz que se temos uma função h x = f x ∙ g ( x ) , ou seja, uma função que pode ser escrita como o quociente de outras duas funções, então

h ' x = f ' x ∙ g x + f x ∙ g ' x

E pela regra da derivada do quociente, se nós temos z x = f x g x , então

z ' x = f ' x ∙ g x - f x ∙ g ' x f 2 ( x )

onde, f ' x e g ' ( x ) são as derivadas das funções f ( x ) e g ( x ) , nas duas situações.

Passo 2

Vamos agora observar a função que nós temos.

f x = e x ∙ s e n x - 4 x

Aqui podemos usar inicialmente a propriedade da derivada da diferença de duas funções ser igual à diferença das derivadas de cada função separada. Logo,

f ' x = e x ∙ s e n x ' - 4 x '

Passo 3

Agora, calculamos cada derivada separadamente. Na primeira parte usaremos a regra da derivada do produto de funções, logo,

e x ∙ s e n x ' = e x ∙ s e n x + e x ∙ c o s ⁡ ( x )

Veja aqui, que e x ' = e x .

Na segunda parte usaremos a regra da derivada do quociente de funções, logo,

4 x ' = 4 ' ∙ x - 4 ∙ 1 x 2 = - 4 x 2

Passo 4

Assim, a derivada da função f é

f ' x = e x ∙ s e n x + e x ∙ cos ⁡ x - - 4 x 2 = e x s e n x + cos ⁡ x + 4 x 2

É isso pessoal, até a próximaa, espero que tenham aprendido!!!

Resposta

e. f ' x = e x s e n x + cos ⁡ x + 4 x 2

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