Nas videoaulas, você viu as primeiras regras de derivação (veja quadros abaixo com três possíveis escritas). Sejam u e v funções de x e c um número real.

Utilize essa tabela e a tabela da lista de exercícios 2.5 na resolução dos exercícios.

Determine a derivada das funções abaixo.

g )   f x = ( x 2 + 3 ) ( 2 x - 5 ) ( 3 x + 2 )

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O exercício nos deu essa função aqui

f x = ( x 2 + 3 ) ( 2 x - 5 ) ( 3 x + 2 )

E pediu para encontrarmos a sua derivada! Mas com duas ajudas. A primeira é essa tabela aqui

Com várias regras de derivadas! Essa tabela serve para identificarmos quando nossa função pode ser escrita como um produto/quociente/soma/subtração de outras duas (ou mais) funções! Super útil!

E a segunda é a tabela do exercício 2.5, vou resgatar ela para você:

Então, uma fez identificado como nossa função pode ser reescrita, vamos identificar a derivada das principais funções com essa segunda tabela! E aí é só substituir tudo!

Mas relaxa! Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Nossa função é:

f x = ( x 2 + 3 ) ( 2 x - 5 ) ( 3 x + 2 )

De cara vemos que é uma razão de três polinômios! Então aqui vamos usar a Regra do Produto

Ela está na terceira linha da primeira tabela, essa aqui:

f x = u v → f ' x = u ' v + v ' u

Mas espera um momento! Eu não acabei de falar que se trata de um produto com TRÊS polinômios?

Pois é! Aí a regra do produto fica assim:

f x = u v w → f ' x = u ' v w + u v ' w + u v w '

Beleza?

Identificamos que

u = ( x 2 + 3 )

v = ( 2 x - 5 )

w = ( 3 x + 2 )

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar u e v : como são polinômios, vamos usar a primeira linha da segunda tabela

f x = x n → f ' x = n x n - 1

Aí temos

u = x 2 + 3 → u ' = 2 x

v = 2 x - 5 → v ' = 2

w = 3 x + 2 → w ' = 3

Beleza?

Passo 4

Agora vamos substituir tudo na derivada do quociente!

Recapitulando nossa função:

f x = u v w

E a regra do produto

f ' x = u ' v w + u v ' w + u v w '

Do passo anterior:

u = x 2 + 3 → u ' = 2 x

v = 2 x - 5 → v ' = 2

w = 3 x + 2 → w ' = 3

Agora #partiu substituir:

f ' x = 2 x 2 x - 5 3 x + 2 + 2 x 2 + 3 3 x + 2 + 3 ( x 2 + 3 ) ( 2 x - 5 )

E taí nosso resultado!

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

f ' x = 2 x 2 x - 5 3 x + 2 + 2 x 2 + 3 3 x + 2 + 3 ( x 2 + 3 ) ( 2 x - 5 )

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