Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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Questão 3: Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
A solução dessa EDO pode ser encontrada por Laplace! Primeiro então apliquemos essa transformada em ambos os lados da equação, dessa forma aqui:
Agora vamos ver separada a solução de cada Laplace dessas. Bora?
Passo 2
Primeiro quem é a solução da Laplace da segunda derivada? Não se lembra? É essa daqui, oh:
A Laplace da primeira é bem semelhante, só que...
Ora, a Laplace de é...
Beleza! Mas vamos complicar um pouquinho mais?! Quem é a Laplace de uma função vezes ? Ora, é menos a derivada da Laplace da função:
Nesse caso a função é um Delta de Dirac (ou impulso para os mais íntimos )! A Laplace desse cara é será sempre uma exponencial, nesse caso:
Derivando então...
Agora fica mais fácil, pois para terminar, queremos a Laplace de outro delta:
Sacou?
Passo 3
Substituindo cada uma dessas Laplaces...
Bem como substituindo também os valores iniciais ():
Passando pro outro lado os valores sem ...
E agora o Isolando no lado esquerdo...
O que precisamos fazer agora? Aplicar Laplace inverso em todo mundo e ver qual é a resposta no tempo, já que!
Para resolver cada uma dessas Laplaces inversas, devemos arrumar esse denominador por meio de completar quadrados, dessa forma aqui:
Resolvendo esse sisteminha...
Então o denominador organizado desse jeito, podemos substituir...
E sem mais delongas devemos buscar quem é a Laplace dessa vez inversa de cada uma dessas parcelas! Partiu?... Novamente? Rsrs
Passo 4
Vamos primeiro ver quem é essa Laplace inversa aqui:
Sabemos que para termos como resposta um seno ali, precisamos colocar um naquele nominador, e pra isso, como tudo nesse universo tem que ter um equilíbrio, devemos colocar fora da Laplace inversa um para cortar com que estamos colocando e manter a igualdade:
Vamos fazer a mesma coisa com . Precisamos fazer isso para aparecer o mesmo no expoente...
Ora! O Laplace inverso da função em negrito é o seno de , mas multiplicada por , devido esse deslocamento de em unidades :
Esse degrau aparece devido ao produto por !
Passo 5
De forma análoga, podemos calcular a outra Laplace inversa lá do passo 3:
Só que agora vamos multiplicar e dividir por , para aparecer ...
Novamente temos então o seno de , vezes o exponencial devido a todo aparecer , e ainda temos o degrau devido ao ...
Passo 6
Antes de somar tudo, falta mais uma inversa para se calcular:
Podemos separa esse em...
Para aparecer um ali, multiplica e divide por ...
Agora...
Passo 7
Finalmente podemos voltar para aqui:
E substituir tudo...