Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
Ver TeoriaEnunciado
Use transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Onde é nula exceto em , onde vale .
Passo 1
Vamos primeiro traduzir o que o enunciado quis dizer por é nula em todos os os pontos exceto em . Ela seria nula antes de zero se tivesse multiplicada por um degrau centrado na origem ou seja:
E se torna nula novamente em se subtrairmos por um degrau centrado em . Então:
Para deixar no formato perfeitinho da transformada:
Basta ver que:
Como a função cosseno se repete a cada unidades, temos:
Assim, podemos reescrever:
Beleza, com bem organizado, vamos para EDO agora.
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace na equação:
Vamos chamar para simplificar a escrita e temos que:
Substituindo os dados iniciais:
Beleza, vamos calcular agora:
De forma geral, vimos que:
Assim:
Vamos substituir tudo na equação agora:
Passo 3
Isolando :
Logo:
Para encontrar , calculamos a transformada inversa disso aí. Temos que:
Essa exponencial, soa a degrau como vimos anteriormente, de forma que:
Precisamos calcular essa transformada inversa então para podermos seguir. E para isso, usaremos o produto convolução! Bem, repare que:
Pelo produto convolução, temos:
Com:
Então, para e , temos:
Assim:
Vamos calcular essa integral então. Temos que:Logo:
A parte com , pode ser retirada da integral, pois fica como se fosse uma constante:
Agora, vamos usar duas propriedades do seno e cosseno aqui:
Assim:
Além disso:
Ufa! Agora é só substituir:
Para simplificar mais, como:
Temos:
E ainda:
Seguindo a mesma lógica da periodicidade das funções seno e cosseno a cada unidades:
Resta agora a última transformada da soma que fizemos lá atrás:
Essa é a inversa do seno e é:
Assim, já temos tudo que precisamos e é só substituir.
Passo 4
Boa!!