Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
Ver TeoriaEnunciado
Utilizando a transformada de Laplace, resolva o dado por :
E condições iniciais e , sendo .
Passo 1
Partiu resolver umas EDOs que tenham função degrau? Hehehe
Primeiro, vamos entender uma coisinha: quando temos uma função:
Podemos multiplicá-la por :
E a transformada dessa coisa linda será:
Olha o que foi dado no enunciado:
Perceba que . Então vamos trocar só pra deixar bonitinho:
No nosso caso, concorda que ? Então aplicando Laplace em tudo, temos:
Vamos aplicar os laplaces:
Lembrando que
Passo 2
Substituindo os laplaces encontrados na equação:
Utilizando fração parcial:
Substituindo:
Organizando:
Passo 3
Então galera vamos resolver cada parte, para isso primeiro vamos organizar isso tudo
Onde
Fizemos isso porque achando cada ali de cima temos as parcelas da solução. Depois é só somar tudo
Começando com
Temos
Com :
Então:
Passo 4
Vamos para agora.
Lembrando que
Temos
Então e:
Passo 5
Vamos para agora.
Lembrando que
Temos, no nosso caso, onde
Passo 6
Vamos para agora.
De novo, lembrando que
Temos, no nosso caso, onde
Passo 7
Beleza, mas não podemos nos esquecer daquele multiplicando :
Isso quer dizer que as transformadas vão estar deslocadas, a as funções que achamos pra , e vão ser na verdade funções de multiplicadas pela função degrau. Então:
Juntando tudo: