Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Enunciado

Use transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:

y ' ' + y = 4 δ t - 2 π , y 0 = 1 ,       y ' 0 = 0

Passo 1

Vamos começar aplicando a transformada de Laplace em ambos lados da equação: L y ' ' + y = L 4 δ t - 2 π

L y ' ' + L y = 4 L δ t - 2 π

Consideramos L y ' ' = Y ( S ) e lembramos que: L y ' ' = s 2 L y - s y 0 - y ' 0  

Logo, substituindo: L y ' ' = s 2 Y s - s

Além disso, precisamos lembrar da transformada do delta de Dirac, que, de forma geral, é:

L δ t - c = e - c s

Assim: L δ t - 2 π = e - 2 π s

Vamos organizar tudo na equação agora.

Passo 2

L y ' ' + L y = 4 L δ t - 2 π

s 2 Y s - s + Y s = 4 e - 2 π s

Isolando Y s :

Y s s 2 + 1 = 4 e - 2 π s + s

Y s = 4 e - 2 π s s 2 + 1 + s s 2 + 1

Para acharmos a solução, precisamos inverter essa transformada aí.

Passo 3

Temos que:

y t = L - 1 Y s = L - 1 4 e - 2 π s s 2 + 1 + s s 2 + 1 = 4 L - 1 e - 2 π s s 2 + 1 + L - 1 s s 2 + 1

Vamos calcular essas inversas. Bem, a presença de uma exponencial ali na primeira transformada indica um degrau. De fato, temos que, de forma geral: L f t - c U t - c = e - c s L f t

Então:

L sen ⁡ t - 2 π U t - 2 π = e - 2 π s ⋅ 1 s 2 + 1

Portanto:

L - 1 e - 2 π s s 2 + 1 = sen ⁡ t - 2 π U t - 2 π

Além disso, como a função seno se repete a cada 2 π unidades, temos que: sen ⁡ a ± 2 π = sen ⁡ a

Logo: L - 1 e - 2 π s s 2 + 1 = sen ⁡ t U t - 2 π

A outra transformada inversa é conhecida: é a transformada inversa do cosseno: L - 1 s s 2 + 1 = cos ⁡ t

Agora é só substituir:

y t = 4 L - 1 e - 2 π s s 2 + 1 + L - 1 s s 2 + 1

y t = 4 sen ⁡ t U t - 2 π + cos ⁡ t

Resposta

y t = 4 sen ⁡ t U t - 2 π + cos ⁡ t

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