Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
Ver TeoriaEnunciado
Use transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Vamos começar aplicando a transformada de Laplace em ambos lados da equação:
Consideramos e lembramos que:
Logo, substituindo:
Além disso, precisamos lembrar da transformada do delta de Dirac, que, de forma geral, é:
Assim:
Vamos organizar tudo na equação agora.
Passo 2
Isolando :
Para acharmos a solução, precisamos inverter essa transformada aí.
Passo 3
Temos que:
Vamos calcular essas inversas. Bem, a presença de uma exponencial ali na primeira transformada indica um degrau. De fato, temos que, de forma geral:
Então:
Portanto:
Além disso, como a função seno se repete a cada unidades, temos que:
Logo:
A outra transformada inversa é conhecida: é a transformada inversa do cosseno:
Agora é só substituir: