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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 10 - Função impulso unitário e convolução, Questão 1.2

Questão 1. Resolva os problemas de valor inicial:

2. y ' ' + y = δ t - 2 π cos ⁡ t y 0 = 0 ;     y ' 0 = 1

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema temos que resolver a EDO dada por y ' ' + y = δ t - 2 π cos ⁡ t sabendo que y 0 = 0 e y ' 0 = 1 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Como temos a função delta na equação, a melhor maneira de calcular a solução dessa equação é a partir da transformada de Laplace...

Nossa solução será uma função do tipo f t e, portanto, fazemos

L y = L f t

L y ' = s L f t - f t 0

L y ' ' = s 2 L f t - s f t 0 - f ' t 0

E substituímos na EDO calculando a transformada nos dois lados da igualdade.

Então a partir daí isolamos L f t e calculamos sua transformada inversa!

Parece tranquilo? Bora lá! 😉

Passo 2

Nesse caso a EDO é dada por

y ' ' + y = δ t - 2 π cos ⁡ t

Calculando a transformada nos dois lados da igualdade

L y ' ' + L y = L δ t - 2 π cos ⁡ t

s 2 L f t - s f t 0 - f ' t 0 + L f t = L δ t - 2 π cos ⁡ t

Foi dito que y 0 = 0 e y ' 0 = 1 , logo f t 0 = 0 e f ' t 0 = 1 .

Para calcular L δ t - 2 π cos ⁡ t temos que aplicar o teorema de convolução.

L δ t - 2 π cos ⁡ t = ∫ 0 ∞ e - s t δ t - 2 π cos ⁡ t d t

L δ t - 2 π cos ⁡ t = e - 2 π s

Substituindo essas informações na equação, temos

s 2 L f t - 1 + L f t = e - 2 π s

s 2 + 1 L f t = e - 2 π s + 1

L f t = e - 2 π s + 1 s 2 + 1

L f t = e - 2 π s s 2 + 1 + 1 s 2 + 1

Calculando a transformada inversa, temos

f t = L - 1 e - 2 π s s 2 + 1 + L - 1 1 s 2 + 1

Pelas propriedades da função degrau, temos

L - 1 e - 2 π s s 2 + 1 = H t - 2 π sin ⁡ t - 2 π

L - 1 1 s 2 + 1 = sin ⁡ t

Ou seja

f t = H t - 2 π sin ⁡ t - 2 π + sin ⁡ t

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

f t = H t - 2 π sin ⁡ t - 2 π + sin ⁡ t

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