Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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Delta de Dirac
Resolva por transformada de Laplace o seguinte PVI:
Onde e .
Passo 1
Vamos reconhecer cada termo da equação e suas Transformadas de Laplace. No lado esquerdo, temos:
No lado direito, temos uma função impulso:
Como o impulso está deslocado, segue da propriedade de deslocamento no tempo:
Como :
Logo:
Passo 2
Agora, substituímos os valores iniciais dados: e .
E, de volta à equação, temos:
Passo 3
Vamos isolar para tentar resolver a equação acima.
Passo 4
Agora reescrevemos o denominador como .
Pareceu mágica? Calma, você já vai ver porque fizemos isso.
E ainda dá pra reescrever assim, olha:
Passo 5
Então basta encontrar os pares de transformada dos termos que achamos.
Como
Identificamos e :
Além disso,
Logo,
Já o terceiro termo é igual ao segundo, multiplicado por uma exponencial e um fator . Essa exponencial introduz um deslocamento no tempo, lembra?
Como e neste caso, segue que
Mas cuidado, essa função só é diferente de zero para . Podemos escrevê-la como
Passo 6
Vamos aplicar os pares acima para tomar a transformada inversa da equação.
E, assim, obtemos:
Resposta