Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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Utilizando a transformada de Laplace, resolva o PVI
Passo 1
Beleza, então vamos lá. Para começar, aplicamos a transformada de Laplace na equação e usamos a linearidade do operador para separar as transformadas:
Passo 2
Agora vamos olhar para cada transformada separadamente. Para simplificar, vamos chamar
Então, pela transformada de derivadas:
Substituindo as condições dadas no problema:
Legal, o lado esquerdo da equação já foi, vamos olhar para o degrau agora. De forma geral, temos:
Então, comparando com o nosso problema, temos e, portanto:
Assim, nossa equação vai ficar:
Passo 3
Nosso objetivo agora é isolar , para isso, começamos colocando em evidência no lado esquerdo:
Show, em seguida é só jogar o que está entre parênteses para o outro lado:
Passo 4
Agora, a solução do problema será dada pela transformada inversa de , o problema é que justamente
Que não tem uma transformada inversa muito clara. Para determiná-la, vamos usar frações parciais. Podemos escrever
Para achar as constantes, vamos juntar as frações e comparar os numeradores com a fração original:
Distribuímos e justamos os termos de mesmo grau:
Comparando os numeradores, chegamos ao sistema:
Assim, resolvendo, temos:
Beleza, então, nossa fração vai ficar:
Substituindo lá na equação:
Passo 5
Beleza, então vamos ter:
Vamos olhar para cada transformada inversa individualmente. Para a última, temos que de forma geral
Então,
Comparando com o nosso problema, vamos ter e, portanto:
Agora, vamos ver
Repare que
é a transformada de lá do início do problema. Assim, vamos ter:
Restou então
Vamos ver o efeito que a exponencial faz com a transformada. De forma geral:
Comparando com o nosso problema, vemos que e temos:
De forma geral, temos que:
Assim, vamos ter:
E, portanto:
Passo 6
Agora, basta substituir tudo na equação de :