Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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Resolve o problema de valor inicial:
Passo 1
Show, então vamos resolver esse problema usando transformada de Laplace. Para começar, aplicamos a transformada na equação:
E usamos a linearidade da transformada para separar os termos:
Passo 2
Legal, agora vamos ver cada transformada separadamente, da esquerda para direta. Pela transformada da derivada, temos:
Agora, já podemos substituir os valores iniciais dados ( ) e também podemos considerar para melhorar a visualização. Assim, ficaremos com:
Agora, para a próxima transformada, temos simplesmente:
E vamos para o outro lado da equação agora, com a transformada do degrau. De forma geral, acontece isso aqui:
Então, comparando com o caso que temos, encontramos , logo:
Show? Só falta uma agora. A função que sobrou é a função impulso que tem transformada geral:
Ou seja, comparando com o nosso caso, encontramos e teremos:
Show! Todas as transformadas já foram.
Passo 3
O próximo passo agora é substituir esse achado na equação e isolar . Vamos fazer isso? Vem com a gente!
Para isolarmos, colocamos o em evidência:
E jogamos o que ele multiplica para o outro lado da equação:
Passo 4
Agora, precisamos escrever o que acabamos de encontrar na forma de transformadas conhecidas. Dessa forma podemos encontrar a solução dada pela inversa de :
Legal. Vamos analisar o que temos então. Para a última transformada, ficamos com:
Essa transformada aí se parece com a transformada do , só que deslocada por conta da exponencial. Então, não precisamos mexer nela por enquanto. Já para essa aqui:
Não dá para reconhecer de cara qual a transformada inversa, mas se conseguirmos separar e em denominadores diferentes, então a história muda. Para isso, vamos usar frações parciais. Escrevemos:
Sendo o grau do numerador sempre no máximo um grau abaixo do grau no denominador. Beleza, precisamos encontrar essas constantes e faremos isso por meio de comparação.
Para efetuar essa comparação, vamos juntar tudo de novo na fração:
Distribuímos:
E então juntamos termos de mesmo grau:
Agora vem a questão, queremos que:
E isso só pode ser verdade se os polinômios nos numeradores forem iguais, ou seja, se tiverem os mesmos coeficientes. Então, temos:
Comparando cada coeficiente, chegamos no sistema:
Pegando a segunda equação de cima para baixo, temos . Pegando a última equação de cima para baixo, temos . Substituindo esse valor na primeira equação encontramos:
Show. Encontramos os valores das constantes e agora podemos escrever:
Legal, assim vai ficar:
Passo 5
Com a transformada dessa forma, podemos encontrar a inversa que será justamente nossa solução:
Usando a linearidade do operador novamente:
Vamos então ver o efeito dessa exponencial aí. De forma geral, temos que:
Ou seja, quando aparece , a transformada inversa vai estar deslocada unidades e multiplica por um degrau centrado em .
Assim, para o nosso problema, vamos analisar cada inversa seguindo essa lógica.
Comparando vemos que:
Por tabela, temos que:
Assimr:
Portanto:
Show, vamos agora para
Seguindo a mesma lógica temos:
E comparando, encontramos:
Sendo que por tabela:
Ou seja:
Ficando:
Legal, quase lá. Só falta:
Seguindo a mesma lógica, temos:
Comparando, encontramos:
E por tabela, temos:
Logo:
E assim teremos:
Conseguimos tudo que queríamos e agora é substituir para fechar:
Prontinho 😊