Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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Considere a equação diferencial de segunda ordem, homogênea,
Encontre a solução do problema de valor inicial,
Passo 1
Repara naquela função . Isso é um delta de Dirac.
É a dica que de que solução dessa EDO pode ser encontrada por Laplace! Primeiro então apliquemos essa transformada em ambos os lados da equação, dessa forma aqui:
Agora vamos ver separada a solução de cada Laplace dessas. Bora?
Passo 2
Primeiro quem é a solução da Laplace da segunda derivada? Não se lembra? É essa daqui oh:
A Laplace da primeira é bem semelhante, só que...
Ora, a Laplace de é...
Beleza! Mas vamos complicar um pouquinho mais?! Quem é a Laplace de uma função vezes ? Se liga nesse teorema:
E a transformada deslocada! Como a gente só tem , nosso , e aí temos
Nesse caso a função é um Delta de Dirac (ou impulso para os mais íntimos )! A Laplace desse cara é será sempre uma exponencial, nesse caso:
Para deslocar é só a gente colocar aquele no lugar de :
Sacou?
Passo 3
Substituindo cada uma dessas Laplaces...
Bem como substituindo também os valores iniciais ():
E agora isolando no lado esquerdo...
O que precisamos fazer agora? Aplicar Laplace inverso em todo mundo e ver qual é a resposta no tempo, já que!
Para resolver cada essa Laplace inversa, devemos arrumar esse denominador por meio de completar quadrados, dessa forma aqui:
Resolvendo esse sisteminha...
Então o denominador organizado desse jeito, podemos substituir...
E sem mais delongas devemos buscar quem é a Laplace disso aí. Bora!
Passo 4
Vamos reescrever:
Como
Aquele termo em fração vai nos dá , mas percebe que o ali na tranformada está deslocado uma unidade, então a gente multiplica a inversa por .
Mas repara também que por causa daquele , precisamos colocar uma função degrau em , , e deslocar no seno em unidades.
Aí nossa continha final fica assim:
E isso é igual a , então é a nossa solução