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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Enunciado

Resolva o problema de valor inicial

y ' ' - 3 y ' + 2 y = g t y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Onde g : [ 0 , + ∞ [ → R é a função definida por

g t = 6 e t   s e   0 ≤ t ≤ 1 0   s e   t > 1

Passo 1

Essa função g ( t ) pode ser escrita utilizando uma função degrau unitário. Sabemos que a função deve ser igual a   6 e t de 0 a 1 e depois disso deve ser nula.

g t = 6 e t - u 1 t 6 e t

Como:

u 1 t = 0   s e   0 ≤ t ≤ 1 1   s e   t > 1

Vai ficar:

g t = 6 e t - 0 = 6 e t ,   s e   0 ≤ t ≤ 1 6 e t - 6 e t = 0 ,   s e   t > 1

Como temos uma função com degrau unitário vai ser legal usarmos transformada de Laplace para resolver essa EDO. Vamos fazer isso.

Passo 2

Tomando L y ( t ) = Y ( s ) e L g t = G ( s ) teremos

L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' ( 0 )

L y ' = s Y s - y ( 0 )

Logo a nossa EDO ficará

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 - 3 s Y s - y 0 + 2 Y s = G ( s )

Substituindo os valores de y ( 0 ) e y ' ( 0 ) .

s 2 Y s - 3 s Y s + 2 Y s = G ( s )

Y s = G s s 2 - 3 s + 2 = G s s - 1 s - 2

Passo 3

Vamos calcular G ( s ) agora. Vamos primeiro reescrever g ( t )

g t = 6 e t - 6 u 1 t e t - 1 + 1

Lembrando que L u c t f t - c = e - c s L f t , teremos.

G s = 6 L e t - 6 e - s L [ e t + 1 ]

G s = 6 s - 1 - 6 e - s e L e t

G s = 6 s - 1 - e - s 6 e s - 1 = 6 s - 1 ( 1 - e 1 - s )

Passo 4

Voltando G ( s ) para o resultado que obtivemos no passo 2

Y s = 6 s - 1 2 s - 2 ( 1 - e 1 - s )

Chamando   L h t = H s = 6 s - 1 2 s - 2 , teremos

Y s = H s - e 1 - s H ( s )

Então para obtermos y ( x )

y x = L - 1 H s - L - 1 e e - s H s = h t - e u 1 t h ( t - 1 )

Basta então calcularmos h t .

Passo 5

Vamos reescrever H ( s ) em frações parciais

H s = 6 s - 1 2 s - 2 = A s - 2 + B s - 1 + C s - 1 2

Para encontrarmos os coeficientes A ,   B   e   C teremos a seguinte equação.

6 = A s - 1 2 + B s - 2 s - 1 + C ( s - 2 )

Fazendo s = 1 na equação

6 = - C

Fazendo s = 2 na equação

6 = A

Substituindo os valores de A   e   C e fazendo s = 3

6 = 6 × 2 2 + B × 2 - 6 × 1

B = - 6

Logo teremos

H s = 6 s - 1 2 s - 2 = 6 s - 2 - 6 s - 1 - 6 s - 1 2

Agora sabemos essas transformadas inversas de cabeça

h t = 6 e 2 t - 6 e t - 6 t e t

Logo teremos

y x = 6 e 2 t - 6 e t - 6 t e t - e u 1 t [ 6 e 2 t - 1 - 6 e t - 1 - 6 t - 1 e t - 1 ]

Resposta

y x = 6 e 2 t - 6 e t - 6 t e t - e u 1 t [ 6 e 2 t - 1 - 6 e t - 1 - 6 t - 1 e t - 1 ]

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