Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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Calculo 4 – UFPE – 2° EE
Resolva o problema de valor inicial simbólico dado
Dicas: Para achar , lembre que .
Passo 1
Bom, já começamos a questão nos perguntando que diabos é a função . Esta função delta é o delta de Dirac. Utilizamos ela quando estamos trabalhando com funções impulso.
Continuando, para resolvermos o problema, vamos ter de aplicar a transformada de Laplace na equação, isolar e obter a transformada inversa para encontrar uma solução para .
Então, antes de partirmos para este procedimento em si, vamos só relembrar como calculamos a transformada para estas funções . Seja então uma função . Então, sua transformada é:
Como para o nosso delta , então, a transformada é .
Bom, agora que já identificamos a transformada mais difícil, vamos fazer a transformada para toda a equação. Portanto,
Passo 2
Agora, precisamos isolar o termo para poder fazer a transformada inversa. Portanto, vamos começar isolando este termo!
Agora, vamos aplicar a transformada inversa em ambos os membros. Portanto,
Bom, qual seria a função que origina este termo todo do segundo membro? Só precisamos identificar isto para conseguirmos resolver a questão!!!!! Aaaah!
Espera, a questão deu uma dica, não foi? E ainda não utilizamos.... Vamos relembrar o que ela disse: Para achar , lembre que .
Complicado ainda, vamos focar apenas no finalzinho dela: . Se considerarmos , temos a primeira parte ok. E quem seria ? Vamos comparar com o termo restante dentro da nossa transformada inversa:
Calma, esta é a transformada de Laplace da função ! Caramba, então, na verdade, temos:
E isto se encaixa direito na nossa dica! Se e , então:
E esta é a solução do problema!
Dica: sempre valorizem as dicas dadas!!!