Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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Questão 4: Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do problema
Onde é a função degrau unitário com singularidade em e é a função delta de Dirac com singularidade em .
Passo 1
A gente vai começar o nosso problema aplicando Laplace em si na nossa equação:
Após a gente encontrar a Transformada desses dois lados da igualdade, a gente isola o e aplica a transformada inversa para obter a solução da EDO. Vamos nessa?
Passo 2
Aqui, vamos nos dedicar apenas ao lado esquerdo da equação do Passo 1:
Ora, a transformada da soma é a soma das transformadas (e o produto por uma constante é a constante vezes a transformada), ou seja:
Lembrando que a transformada de é , a transformada da segunda derivada é:
E da primeira derivada...
Portanto...
Substituindo as condições iniciais do enunciado...
Passo 3
Agora vamos trabalhar com a Laplace do outro lado da equação do passo 1:
Ora! Quem é o Laplace de uma função degrau vezes uma função ? Por uma consulta a tabelinha de Laplace...
Então, dado a transformada do seno, a gente sabe que:
Mas poxa, a gente não quer isso, e sim a transformada . O que fazer pra consertar esse detalhe? Sim! Usar a trigonometria a nosso favor, pois sabemos que:
Então:
Enquanto isso...
Logo, concluímos que:
Passo 4
Então, juntando esses dois passos, a gente conclui que:
Basicamente, a gente agora vai buscar a Laplace inversa disso aí e o nosso problema estará terminado, já que:
Nos próximos passos, a gente vai procurar a transformada inversa de cada um desses termos!
Passo 5
Vamos começar aqui com o que aparenta ser o mais fácil:
Ora, essa fração está em uma notação horrível! Vamos começar tentando encontrar alguma fração que a gente siba a transformada inversa. Para isso, vamos lembrar que , logo:
Pois bem, a Laplace do seno é assim:
Então, se a gente multiplicar essa função (e dividir) por ...
A gente quase vai ter a transformada do seno de . Eu digo quase, pois tem esse ali). Ora, toda vez que a gente tem um deslocamento em , é porque a função em foi multiplicada por uma exponencial:
Então...
Passo 6
Agora, em contrapartida, vamos calcular essa daqui:
Beleza, sabemos que:
Outra coisa que também já sabemos, pois já utilizamos, é a Laplace de uma função degrau:
Ou seja...
No nosso caso, e:
Logo, no lugar de , vamos colocar ...
Como ...
Passo 7
Por fim, vamos para a transformada inversa mais chatinha:
Novamente, a gente vai aplicar:
Mas para isso, precisamos saber que é a , ou seja, a transformada inversa de . Como temos um produto, que tal fazermos por frações parciais?
Colocando sob o mesmo denominador comum:
Comparando:
Então:
Resolvendo esse sistema:
Então:
Como sabemos, o ...
Como a gente esta buscando a inversa, para facilitar a vida, seria interessante se tivéssemos um no nominador, então:
Aplicando Laplace inversa nisso aí, lembrando-se de que:
Se liga, pois ainda não acabou. Queremos mesmo isso aqui:
E pela fórmula:
Portanto, trocando o que é por ...
Passo 8
Finalmente, juntando tudo o que foi falado nos 3 últimos passos:
Simplificando um pouquinho esse resultado:
Prontinho!