Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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Resolva
Passo 1
Partiu resolver umas EDOs que tenham função degrau? Hehehe
Aplica Laplace em tudo:
Mas quem é
Ele tem que ser antes de , e depois de , né?
Belezinha, ve se essa função casa bem:
Bacana, ela funciona! Depois de o vale 1 e o fica , assim a soma vai ficar . Faz o mesmo raciocínio para depois de e você verá que vai dar .
Vamos aplicar os laplaces:
Passo 2
Substituindo os laplaces encontrados na equação:
Utilizando fração parcial:
Assim :
Substituindo:
Abrindo isso daí:
Passo 3
Então galera vamos resolver cada parte, para isso primeiro vamos organizar isso tudo
Onde
Fizemos isso porque achando cada ali de cima temos as parcelas da solução. Depois é só somar tudo
Todas essa funções estão com um exponencial junto né? Temos uma transformação que leva isso em consideração
Então em cada uma dessas funções, precisamos nos preocupar só com a parte sem exponencial, para achar a , depois fazemos e temos cada uma das nossas funções.
Começando com
Lembrando que
Temos
Como é uma função que não muda nada mudando o para vamos ter
Assim
Passo 4
Vamos para agora.
De novo, lembrando que
Temos
Como é uma função que não muda nada mudando o para vamos ter
Assim
Passo 5
Vamos para agora.
Lembrando que
Temos, no nosso caso, onde
Dessa vez, mudar o para vai fazer bastante diferença, então vamos fazer isso
Assim
Passo 6
Vamos para agora.
De novo, lembrando que
Temos, no nosso caso, onde
Dessa vez, mudar o para vai fazer bastante diferença, então vamos fazer isso
Assim
Passo 7
Agora que achamos cada daqueles, vamos juntar tudo para achar a resposta final
Lembrando os valores de , , e que achamos nos passos anteriores
A nossa função vai ser