Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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Resolva o problema de valor inicial
Onde é a função de degrau unitário com
Passo 1
Vamos aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da EDO:
Vamos olhar a transformada de cada um:
- A transformada de é dada por
- A transformada da derivada é dada por
Usando as condições iniciais
- A transformada da derivada segunda é dada por
Usando as condições iniciais
- E a transformada do lado direito da equação, a gente faz assim
Onde eu usei a propriedade marota de
Assim, lembrando que:
Temos então que
Nossa EDO vai ficar então com essa cara:
Agora temos que isolar
Aí fica esse negócião aí
Passo 2
Agora, vamos determinar a transformada de Laplace inversa de:
Antes saca isso aqui: .
O nosso fica então
Um pouco mais simpático, concorda?
Agora vamos deixar esse primeiro termo bonitão usando frações parciais
Agora dá aquela esticada. Olha pra esquerda, pra direita.... respirou? Agora vamo que vamo cair de cabeça nessa conta!
Agora a gente tem que juntar todos os termos com mesma potência de ! O numerador dessa fraçãozona vai ser
Olhando para o lado esquerdo da equação anterior, o termo que multiplica será e todos os outros termos serão
Então a gente acaba com o seguinte sistema
Esse sistema é molezinha de resolver (depois dessa contarada, um descanso!). Só presta atenção para não dar bobeira, hein!
Os valores da dessas constantes são
Assim o nosso fica
E aí, achou mais simpático?
Passo 3
Beleza! Agora temos que calcular as transformadas inversas
- A primeira fica
Aqui temos que lembrar que
E agora podemos usar as transformadas
e
Finalmente chegamos em (lembrando de trocar no argumento das funções, por causa da função degrau, )
Deixando bonitinho
Passo 4
- A segunda fica
De novo usamos que
Do lado direito da equação o primeiro termo é a primeira transformada de e o segundo a transformada de
(lembrando de trocar no argumento das funções, por causa da função degrau, )
Passo 5
- Já o terceiro termo fica
Para resolver esse cara basta lembrar que
Assim
Ufa! Agora é só juntar tudo
Passo 6
Aí fica essa coisa pequeninha aí rsrsrs