Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Enunciado

Seja

f t = 0 ,       t ≤ π t ,       t > π

  1. Calcule a transformada de Laplace de f .
  2. Resolva o seguinte problema de valor inicial:

y ' ' + y = f ( t ) y 0 = y ' 0 = 0

Passo 1

Letra a)

Primeiro, precisamos escrever essa função f ( t ) como função degrau. Como ela vale zero até t = π e possui valor diferente de zero depois desse ponto, sabemos que tem um u π ( t ) envolvido na história. Como a função vale t a partir de t = π , temos:

f t = u π t t

Sabemos que

L u c t f t - c s = e - c s L f t s

O que nos dá

L u π t t s = e - π s L f t s

f t - π = t     →     t t = t + π

Então, temos:

L u π t t s = e - π s L t + π s =

L f t s = e - π s 1 s 2 + π s

Passo 2

Vamos aplicar a Transformada de Laplace à equação.Temos o seguinte:

L y ' ' + y ( s ) = L [ f ( t ) ] ( s )

L y ' ' s + L y s = L [ f ( t ) ] ( s )

Agora vamos aplicar aquela propriedade da Transformada da derivada:

L y ' ' s = s 2 L y s - s y 0 - y ´ ( 0 )

Substituindo na equação, temos:

s 2 L y s - s y 0 - y ´ 0 + L y s = e - π s 1 s 2 + π s

Passo 3

Vamos, então, substituir os valores iniciais e isolar L y ( s )

Como y 0 = 0   e   y ' 0 = 0 , temos:

s 2 L y s + L y s = e - π s 1 s 2 + π s

( s 2 + 1 ) L y s = e - π s 1 s 2 + π s

L y s = e - π s 1 s 2 ( s 2 + 1 ) + π s ( s 2 + 1 )

Passo 4

Agora vamos decompor essa duas frações dentro dos parênteses em frações parciais, para podermos reconhecer y a partir de L y ( s ) .

  1. Fatorar o denominador
  2. Bom, o ( s 2 + 1 ) não tem raízes, então temos que escrever ele assim mesmo e o s 2 já está fatorado. Vamos escrever as duas frações separadamente, para não confndirmos:

    1 s 2 s 2 + 1

    π s ( s 2 + 1 )

  3. Igualar a fração à soma de frações com denominadores iguais aos termos que encontramos.
  4. Aqui temos um detalhezinho: sempre que você encontrar termos iguais no denominador , um fator elevado ao quadrado, ao cubo, etc, você tem que fazer frações desse tipo:

    1 s 2 s 2 + 1 = a s 2 + b s + c s + d s 2 + 1

    π s s 2 + 1 = e s + f s + g s 2 + 1

    Ou seja, fizemos frações com denominador s elevado desde o seu grau inicial 2 até o grau 1, nesse caso, foram só duas.

    O numerador dessas frações que criamos sempre deve ter grau menor que o fator do denominador em uma unidade. Como temos grau 2 em ( s 2 + 1 ) , o numerador dessa fração deve ser c s + d (grau 1).

    Você tem que lembrar que é como se tivéssemos s 2 , um termo de grau 1 repetido, então os numeradores das frações que vem desse termo devem ter grau 0. Beleza?

  5. Fazer o MMC dessas frações, juntá-las ao mesmo denominador.
  6. 1 s 2 s 2 + 1 = a s 2 + 1 + b s s 2 + 1 + s 2 ( c s + d ) s 2 s 2 + 1

    π s s 2 + 1 = e s 2 + 1 + s ( f s + g ) s s 2 + 1

  7. Agora, partindo do princípio que essas frações são iguais, vamos encontrar os coeficientes das frações parciais.
  8. Vamos juntar os termos pelos graus de s .

    1 s 2 s 2 + 1 = b + c s 3 + a + d s 2 + b s + a s 2 s 2 + 1

    π s s 2 + 1 = e + f s 2 + g s + e s s 2 + 1

    Como o denominador já são os mesmos, temos:

    b + c s 3 + a + d s 2 + b s + a = 1

    e + f s 2 + g s + e = π

    Vamos igualar cada coeficiente das potências de s na esquerda e na direita para cada uma das frações. Como assim? Olha só:

    b + c = 0 a + d = 0 b = 0 a = 1

    c = 0

    d = - 1

    e + f = 0 g = 0 e = π

    f = - π

    Agora temos que resolver esse sisteminha.

  9. Agora que já temos os coeficientes basta reescrever as frações que criamos.

1 s 2 s 2 + 1 = 1 s 2 + - 1 s 2 + 1

π s s 2 + 1 = π s + - π s s 2 + 1

Substituindo na expressão de L y ( s ) :

L y s = e - π s 1 s 2 - 1 s 2 + 1 + π s - π s s 2 + 1

Passo 5

Agora que já temos as frações parciais, precisamos reconhecer a função y pela sua transformada. Calma, já está acabando!

Cada uma dessas frações dentro dos parênteses é uma transformada conhecida, não é? Olha só:

L y s = e - π s 1 s 2 ⏟ L [ t ] - 1 s 2 + 1 ⏟ L s e n t + π 1 s L [ 1 ] - π s s 2 + 1 ⏟ L [ c o s t ]

L y s = e - π s ( L t s - L s e n t s + π L 1 s - π L c o s t s ⏟ f ( t ) )

E agora? Sobrou uma exponencial do lado de fora, não é? Vamos usar essa fórmula aqui:

L u c ( t ) f t - c s = e - c s L f t ( s )

O que nos dá

L u π ( t ) f t - π s = e - π s L f t ( s )

Portanto, tudo o que está ali dentro dos parênteses é f ( t ) e queremos f ( t - π ) . Então, basta substituir t por ( t - π ) :

f t - π = L t - π s - L s e n t - π s + π L 1 s - π L c o s t - π s

Então

L y s = L u π t - π - s e n t - π + π - π c o s t - π ( s )

Podemos dizer que y ( t ) é então tudo o que está dentro dos colchetes:

y t = u π t - π - s e n t - π + π - π c o s t - π

Resposta

  1. L f t s = e - π s 1 s 2 + π s
  2. y t = u π t - π - s e n t - π + π - π c o s t - π

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