Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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Transoformada de Laplace, Função degrau, Solução de PVI para EDO por Laplace
Seja
- Calcule a transformada de Laplace de .
- Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Letra a)
Primeiro, precisamos escrever essa função como função degrau. Como ela vale zero até e possui valor diferente de zero depois desse ponto, sabemos que tem um envolvido na história. Como a função vale a partir de , temos:
Sabemos que
O que nos dá
Então, temos:
Passo 2
Vamos aplicar a Transformada de Laplace à equação.Temos o seguinte:
Agora vamos aplicar aquela propriedade da Transformada da derivada:
Substituindo na equação, temos:
Passo 3
Vamos, então, substituir os valores iniciais e isolar
Como , temos:
Passo 4
Agora vamos decompor essa duas frações dentro dos parênteses em frações parciais, para podermos reconhecer a partir de .
- Fatorar o denominador
- Igualar a fração à soma de frações com denominadores iguais aos termos que encontramos.
- Fazer o MMC dessas frações, juntá-las ao mesmo denominador.
- Agora, partindo do princípio que essas frações são iguais, vamos encontrar os coeficientes das frações parciais.
- Agora que já temos os coeficientes basta reescrever as frações que criamos.
Bom, o não tem raízes, então temos que escrever ele assim mesmo e o já está fatorado. Vamos escrever as duas frações separadamente, para não confndirmos:
Aqui temos um detalhezinho: sempre que você encontrar termos iguais no denominador , um fator elevado ao quadrado, ao cubo, etc, você tem que fazer frações desse tipo:
Ou seja, fizemos frações com denominador elevado desde o seu grau inicial 2 até o grau 1, nesse caso, foram só duas.
O numerador dessas frações que criamos sempre deve ter grau menor que o fator do denominador em uma unidade. Como temos grau 2 em , o numerador dessa fração deve ser (grau 1).
Você tem que lembrar que é como se tivéssemos , um termo de grau 1 repetido, então os numeradores das frações que vem desse termo devem ter grau 0. Beleza?
Vamos juntar os termos pelos graus de .
Como o denominador já são os mesmos, temos:
Vamos igualar cada coeficiente das potências de na esquerda e na direita para cada uma das frações. Como assim? Olha só:
Agora temos que resolver esse sisteminha.
Substituindo na expressão de :
Passo 5
Agora que já temos as frações parciais, precisamos reconhecer a função pela sua transformada. Calma, já está acabando!
Cada uma dessas frações dentro dos parênteses é uma transformada conhecida, não é? Olha só:
E agora? Sobrou uma exponencial do lado de fora, não é? Vamos usar essa fórmula aqui:
O que nos dá
Portanto, tudo o que está ali dentro dos parênteses é e queremos . Então, basta substituir por :
Então
Podemos dizer que é então tudo o que está dentro dos colchetes: