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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Enunciado

Calculo 4 – UFPE – 2° EE

Resolva o problema de valor inicial

y ' ' + y = g t ,     y ' 0 = 0 ,     y 0 = 0

Aqui, g t é uma função descontínua definida como: g t = 1 ,     s e   t > 1 0 ,     s e   t < 1

Dicas: Para achar L - 1 , use a identidade 1 s s 2 + 1 = 1 s - s s 2 + 1 , lembre o que é L cos ⁡ b t s e use que f t - a u t - a = L - 1 e - a s L f t s .

Passo 1

Primeiro, começamos identificando a função g t como uma função degrau u t - 1 . Esta identificação é fundamental para podermos continuar resolvendo. Sendo assim, nossa equação diferencial se transforma em:

y ' ' + y = u t - 1

Agora que identificamos esta função degrau, vamos fazer a transformada para toda a equação. Portanto,

L y ' ' + y = L u t - 1

L y ' ' + L y = L u t - 1

s 2 L y + s y ' 0 + y 0 + L y = L u t - 1

s 2 L y + L y = L u t - 1

Passo 2

E quem é L u t - 1 que carregamos por todas equações? Como resolvemos? Voltamos para a dica dada.... f t - a u t - a = L - 1 e - a s L f t s . Mas a dica é para a transformada inversa...

Então, vamos inverter. Vamos aplicar a transformada de Laplace. Com isto vamos obter:

L f t - a u t - a = e - a s L f t s

Se fizermos f t = 1 e a = 1 , temos:

L 1 ⋅ u t - 1 = e - 1 s L 1 s = e - s s

E é exatamente a transformada que carregamos por muito tempo e não sabíamos resolver! Substituindo esta relação na relação desenvolvida no Passo 1, temos:

s 2 L y + L y = e - s s

Passo 3

Agora, precisamos isolar o termo L y para poder fazer a transformada inversa. Portanto, vamos começar isolando este termo!

s 2 + 1 L y = e - s s

L y = 1 s s 2 + 1 e - s

Usando a identidade dada na dica, temos:

L y = 1 s - s s 2 + 1 e - s = e - s s - s s 2 + 1 e - s

Agora, precisamos obter a transformada inversa. Portanto,

y t = L - 1 e - s s - L - 1 e - s ⋅ s s 2 + 1

Eita, e agora??? Voltamos para a dica. Primeiro, vamos lembrar que L cos ⁡ b t s = s s 2 + b 2 . E segundo, vamos utilizar f t - a u t - a = L - 1 e - a s L f t s . Sim, agora será necessário utilizar esta relação do jeitinho que ela ta escrita mesmo.

Para todos os termos que estamos fazendo a transformada inversa, o valor de a é igual a 1. A questão é esta função f t . Para o segundo identificamos já que é cos ⁡ t . Já para o primeiro, é o valor 1.

Portanto, temos:

y t = L - 1 e - s L 1 - L - 1 e - s L cos ⁡ t

Aplicando a relação, temos:

y t = u t - 1 - cos ⁡ t - 1 u t - 1

E assim finalizamos a questão.

Resposta

y t = u t - 1 - cos ⁡ t - 1 u t - 1

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