UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 6 – Questão 20
Considere a equação não-homogênea , em que são funções contínuas em um intervalo . Uma solução particular de (1) é combinação linear de soluções da equação homogênea associada .
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar dissecando esse enunciado?
“Considere a equação não-homogênea ,”
Isso quer dizer que o lado direito da igualdade é diferente de zero. Uma equação diferencial (equação que tem derivadas) homogênea é quando . Quando ela é não-homogênea, .
“em que são funções contínuas em um intervalo ”: aquelas funções que multiplicam , e a função do lado direito, são bonitinhas, bem definidas, sem buracos ou descontinuidades em algum intervalo .
“Uma solução particular de (1)”: uma solução de uma equação diferencial é aquela função (ou combinação de funções, por exemplo, soma de duas funções, diferença de duas funções, etc.) que quando derivada (quantas vezes forem necessárias, aqui será necessário até a derivada segunda) e substituída na equação, nos fornece uma igualdade.
Para uma função ser solução particular de uma equação diferencial, ela deve satisfazer essa equação diferencial. Isso significa que, ao derivarmos essa função e substituirmos na equação diferencial completa (com uma função no lado direito da igualdade) isso será uma verdade matemática.
Então se é solução particular, então, da equação diferencial dada:
Derivando e substituindo temos
Seja qual for a expressão de , a função tem que satisfazer essa equação.
Beleza até aqui?
Passo 2
Aí com isso o enunciado nos afirma:
“Uma solução particular de (1) é combinação linear de soluções da equação homogênea associada ”
Uma solução particular de (1) envolve que a equação a ser satisfeita seja
E não a equação homogênea associada
Mas vamos mostrar isso e verificar se é verdade ou não. Suponhamos que e sejam soluções da equação diferencial homogênea associada. Sendo assim, elas satisfazem essa equação, certo?
E com isso temos que elas devem satisfazer essas condições:
Uma combinação linear dessas duas soluções seria algo assim
Nosso enunciado nos afirma que, sendo e soluções da homogênea associada, uma combinação linear dessas soluções será solução particular da equação (1) – com aquele do lado direito.
Vamos ver se isso é verdade?
Para que uma função seja solução, não custa nada repetir, ela precisa satisfazer a equação diferencial. Então é isso que vamos fazer: testar se essa candidata a solução serve ou não.
Beleza?
Passo 3
O problema pergunta se
é solução para a equação diferencial
Bom, como já comentei, mas não custa nada relembrar, para uma função (ou combinação de funções) ser solução de uma equação diferencial, ela deve satisfazer a equação diferencial. Isto é: pegar essa candidata a solução, derivar e substituir tudo na equação diferencial se encontrarmos uma igualdade matemática (tipo ), então essa candidata é solução da equação diferencial!
Nossa candidata é:
Agora precisamos derivar isso, duas vezes!
Você viu em cálculo 1 que a derivada da diferença é a diferença da derivada:
E isso serve para a derivada segunda também!
Certo?
Agora vou substituir isso na equação diferencial:
Tranquilo?
Passo 4
Agora vou reorganizar esses termos da seguinte forma: agrupando tudo que for em (e suas derivadas) e tudo que for em (e suas derivadas também):
E agora vamos voltar lá para o passo 2: vamos relembrar as condições necessárias para que as funções e sejam soluções da homogênea associada:
Sendo assim, podemos substituir essas condições nos colchetes ali da equação “(guarda isso)”:
Mas bem no começo eu disse:
Essa função é obrigatoriamente diferente de zero, porque temos uma equação não-homogênea!
Logo a sentença matemática:
É falsa!
Senso assim, não é solução da nossa equação diferencial!
Sendo assim, a afirmativa está incorreta.
E a opção certa é: falso
Por enquanto é isso pessoal!
Até a próxima!