UTFPR, Ponta Grossa, Equações Diferenciais Ordinárias, Listas EDO 2 Ordem e Ordem Superior - Segunda Lista de Exercícios, Questão 2a
Resolva as EDO de ordem maior a seguir
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDO. Dessa vez temos que resolver EDO´S de ordem maior. E aí? Lembram como resolvemos esse tipo de problema?
Vamos fazer uma revisão!!!!
Vamos supor que temos uma EDO de segunda ordem homogênea. Isso é, da seguinte forma:
onde
A primeira coisa que fazemos é encontrar o polinômio característico e, depois, suas raízes.
O polinômio é super simples de construir, basta pegarmos os coeficientes da EDO homogênea e ir plugando as potências do polinômio. Na prática fica assim.
Ou seja, as potências dos polinômios ficam com os coeficientes das derivadas de mesma ordem. Isto é, potência com n-ésima derivada, e assim por diante.
Agora achamos as raízes. E o que fazemos depois de encontrar as raízes? Bem, para cada raiz real distinta teremos uma solução geral da forma
com
Se tivermos raízes iguais, , teremos uma solução da forma
com
Se tivermos raízes complexas (lembrando que elas sempre vêm aos pares), então uma solução da EDO homogênea é:
com
E como será a solução geral? Será a soma de todas essas soluções que obtemos. Bacana, né?
Deu para revisar? Show!!!!
Passo 2
Vamos resolver nossa EDO
Vamos calcular o polinômio característico. Pela nossa revisão ele é
Vamos obter suas raízes. Esse é um produto notável, temos que
Ou seja,
Então temos raízes iguais. Logo, utilizando a nossa revisão, a solução geral da EDO é:
como a raiz é , então . Substituindo
Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de EDO, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!