UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - Avaliação EDO Alta Ordem 2020.2, Questão 1k
Determine a solução geral das EDO’s homogêneas:
k)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma EDO não homogênea de terceira ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Beleza, mas como a gente resolve isso?
Pra construir nossa solução geral, nós vamos precisar de uma solução pra EDO homogênea, fazendo , e uma solução particular que vai ter o mesmo formato da função que tá no lado direito da equação ().
Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem tamb��m podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução da parte homogênea é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.
Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:
Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:
E, por fim, se as raízes forem complexas com , temos uma solução da forma:
Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar resolvendo a EDO homogênea:
Temos a equação característica:
Colocando em evidência:
Pra que esse produto seja igual a zero, ou . Daí, temos as raízes:
Passo 3
Repare que nós temos uma raiz real, que nos fornece a solução da forma , e duas raízes iguais, que nos remete a solução da forma .
Juntando tudo, temos nossa solução da parte homogênea:
Substituindo as nossas raízes:
Passo 4
Pra encontrar nossa solução particular, vamos olhar pra forma da função do lado direito da equação, que é . Apesar da gente ter uma equação polinomial do segundo grau, nós vamos usar um polinômio de quarto grau pra construir nossa solução particular. Isso porque, nossa derivada de menor ordem é de segundo grau, então se a gente usasse um polinômio de segundo grau, ele seria derivado e perderíamos nosso .
Assim, vamos ter:
Derivando nossa equação, temos:
Vamos derivar mais duas vezes:
Substituindo e na equação , temos:
Vamos igualar os termos de mesma ordem:
Da primeira equação, temos:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Substituindo todos os coeficientes em , temos nossa solução particular:
Juntando a solução homogênea com a solução particular, temos nossa solução geral:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉