Existe uma constante A de forma que a equação y'' - 2y' + 3y = t^2 possui uma solução da forma (A * t^2 + B * t + C)

Verdadeiro ou falso?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Vamos primeiro identificar a equação característica da EDO homogênea associada! E equação homogênea é quando temos zero do outro lado da igualdade.

A EDO

y ' ' - 2 y ' + 3 y = 0

Supondo uma solução geral do tipo exponencial temos:

y t = A e λ t

As derivadas primeira e segundas:

y ' = A λ e λ t

y ' ' = A λ 2 e λ t

E agora precisamos substituir na EDO:

A λ 2 e λ t - 2 A λ e λ t + 3 A e λ t = 0

Podemos dividir tudo por A e λ t e ficamos com a famosa equação característica:

λ 2 - 2 λ + 3 = 0

As soluções dessa equação vão nos dizer quais tipos de soluções vamos ter para a EDO homogênea. Sabendo essas soluções, podemos analisar a EDO não homogênea e assim dizer se as soluções vão ser LI ou LD. Sempre que elas forem parecidas (mesmo seno/cosseno, mesma exponencial, mesmo tipo de solução...) precisamos retirar essa dependência linear para garantir que o espaço das soluções seja todo contemplado.

Para retirar essa dependência linear basta multiplicar o núcleo da solução (a função que se repete) por um polinômio qualquer. Mas vamos ver isso mais para a frente. Primeiro precisamos resolver a equação característica.

Passo 2

E a equação característica

λ 2 - 2 λ + 3 = 0

Agora para achar as raízes vamos usar bháskara:

λ = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

λ = - ( - 2 ) ± ( - 2 ) 2 - 4.1 . 3 2 = 2 ± 2 2 i 2

λ = 1 ± 2 i

Então a solução da homogênea é:

y h = c 1 e t cos ⁡ 2 t + c 2 e t s e n ( 2 t )

Passo 3

Agora a particular!

A equação diferencial particular associada é:

y ' ' - 2 y ' + 3 y = t 2

Como na nossa homogênea não tem nada com t 2 , podemos chutar uma solução particular do tipo polinômio de segundo grau:

A t 2 + B t + C

E precisa ser o polinômio completo? SIIIMMMMM

Bem parecida com a função da não-homogênea associada!

Então por isso a afirmativa é VERDADEIRA.

Tranquilo?

Espero ter ajudado!

Resposta

V e r d a d e i r o

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Em cada um dos problemas de 29 a 36, encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando t → infinito ?29. y''' + y' = 0; y(0) = 0, y'(0) = 1, y'
Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.y''' + y'' - 2y = 0
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