Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Bem aqui temos uma EDO homogênea, isso porque temos a EDO igual a .
A primeira coisa a fazer é achar a equação característica
Primeiro vamos dividir todo mundo por para diminuir nossas contas
Agora precisamos achar as soluções de equação. A primeira coisa que fazemos numa equação assim é ver se temos algum para colocar em evidência, e neste caso não temos isso
Temos que resolver
Passo 2
Vamos ver algumas dicas de como resolver uma equação de grau maior que . A ideia é ir achando as raízes aos poucos e ir diminuindo o grau dessa equação.
Quando temos uma equação assim temos alguns candidatos a raízes dessa parada.
Qual o coeficiente do maior grau dessa equação? Neste caso vai ser , vamos chamar isso de
Qual o valor do cara sem a variável ? Vai ser , vamos chamar isso de
As possíveis raízes vão ser os divisores de sobre os divisores de , lembrando que para cada possibilidade vamos ter o cara podendo ser positivo ou negativo.
Os divisores de são e os divisores de são e , assim as possíveis raízes vão ser
Então temos que testar essas duas raízes na equação, como fazemos isso? É só substituir o valor na equação e ver se vai dar , se der o valor de é raiz, se não der ele não é raiz.
Vamos começar testando
Substituindo na equação vamos ter
Como deu , é uma raiz dessa equação. Então vamos ter
Passo 3
Agora que temos uma raiz dessa equação podemos aplicar o método de briot-ruffini para diminuir essa equação em grau. Você lembra como é esse método? Primeiro vamos colocar a nossa equação aqui embaixo
A primeira coisa a fazer é escrever essa equação completa, colocando vezes o elevado aos graus que não aparecem, neste caso a equação já está completa.
Agora montamos o seguinte quadrinho
No canto superior esquerdo colocamos os coeficientes da nossa equação, no canto superior direito colocamos o valor na nossa raiz.
Agora nós fazemos os seguintes passos. Primeiro descemos o primeiro coeficiente, que vai ficar
O próximo passo é multiplicar esse número que baixamos pelo número ali no canto superior direito, e depois somar com o próximo coeficiente.
Nesse caso fazemos
Esse primeiro é o coeficiente, o segundo é o número no canto superior direito e aquele é o próximo coeficiente.
Vamos achar , colocamos esse valor embaixo do coeficiente , ficando
Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar
E vamos ter
Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar
Como aquele último cara deu a nossa conta está certinha, se não der alguma conta está errada.
A nossa nova equação vai ser aquela que tem os coeficientes de baixo, tirando aquele , começando com um grau a menor que o anterior, neste caso vamos ter
Como achamos uma equação de grau podemos fazer como fazemos normalmente. Se essa equação tivesse grau maior que era só fazer tudo que acabamos de fazer de novo para diminuir o grau dessa equação
Passo 4
A nossa equação vai ser
Então temos todas as raízes agora, vamos escrever essas raízes aqui
Passo 5
Beleza agora que temos todas as raízes podemos achar a solução geral dessa EDO.
Todas as nossas raízes tem multiplicidade então nossas soluções vão ser
E a nossa solução geral vai ser
Que vai ficar