Dada a equação diferencial x^3 * (d^3 y) / (d^3 x) + 2 * x^2 * (d^2 y) / (d^2 x) - x * (d y) / (d x) + y = 0 assinale a alternativa que contenha uma solução dessa equação:

  1. y = x * ln(x)
  2. y = ln(x)
  3. y = x^(-2)

Passo 1

Oi, tudo bem? Vamos começar?

Para saber se uma função é solução da equação diferencial, precisamos derivar essa função quantas vezes forem necessárias, substituir as derivadas e ver se encontramos zero. Então é isso que vou fazer!

Nesse caso, temos derivadas de primeira, segunda e terceira ordem na equação diferencial. Então precisamos derivar cada função 3 vezes.

Passo 2

Vou começar testando a letra a. Vamos derivar a função 3 vezes!

y = x ln ⁡ x

y ' = ln ⁡ x + 1

y ' ' = 1 x

y ' ' ' = - 1 x 2

Agora é só substituir na equação diferencial:

x 3 d 3 y d x 3 + 2 x 2 d 2 y d x 2 - x d y d x + y =   0

x 3 - 1 x 2 + 2 x 2 1 x - x ln ⁡ x + 1 + x ln ⁡ x =   0  

- x + 2 x - x ln ⁡ x   - x + x ln ⁡ x = 0

Opa! Deu certo! Nessa a gente se deu bem porque a resposta já era a primeira.

Então a ideia é essa: derivar e substituir!

Assim a resposta certa é (a)

Tranquilo? Vamos pra próxima? =D

Resposta

( a )

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