UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 6 – Questão 13
A solução do problema de valor inicial ,
É:
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
Vamos primeiro identificar a equação característica da EDO homogênea associada! E equação homogênea é quando temos zero do outro lado da igualdade.
A EDO
Colocando zero do lado direito temos:
Essa é a equação diferencial homogênea associada. Ela tem coeficientes constantes, então vamos supor uma solução do tipo exponencial.
Supondo uma solução geral do tipo exponencial temos:
As derivadas primeira e segundas:
E agora precisamos substituir na EDO:
Podemos dividir tudo por e ficamos com a famosa equação característica:
As soluções dessa equação vão nos dizer quais tipos de soluções vamos ter para a EDO homogênea. Sabendo essas soluções, podemos analisar a EDO não homogênea e assim dizer se as soluções vão ser LI ou LD. Sempre que elas forem parecidas (mesmo seno/cosseno, mesma exponencial, mesmo tipo de solução...) precisamos retirar essa dependência linear para garantir que o espaço das soluções seja todo contemplado.
Para retirar essa dependência linear basta multiplicar o núcleo da solução (a função que se repete) por um polinômio qualquer. Mas vamos ver isso mais para a frente. Primeiro precisamos resolver a equação característica.
Passo 2
E a equação característica
Agora para achar as raízes vamos usar bháskara:
Essas raízes são do tipo então temos que as soluções são:
Como e
Então a solução da homogênea é:
Guardamos essa solução!
Passo 3
Agora a particular!
A equação diferencial particular associada é:
Como na nossa homogênea tem o mesmo tipo de solução que a função ali do lado direito, vamos supor uma solução do tipo (porque se parece com a função do lado direito, mas leva em consideração tanto seno quanto cosseno) mas precisamos multiplicar por um para que nossa solução fique diferente da que a gente acabou de achar.
Bem parecida com a função da não-homogênea associada!
Agora pra saber quem são os coeficientes e , vamos derivar essa e substituir na equação diferencial (completinha, com a função do outro lado e tudo):
Agora derivando uma vez:
Substituindo na equação diferencial completa:
Agora vamos organizar os termos semelhantes:
Então igualando os termos semelhantes dos dois lados temos que:
Então
E também:
Daí
Aí nossa solução particular é:
Passo 4
A solução geral da nossa equação diferencial vai ser a soma da solução da homogênea com a particular.
Juntando essa solução particular com a homogênea do passo 2 temos:
E o passo final é determinar aquelas constantes ali. Pra isso vamos usar as condições iniciais dadas
Usando a :
E aí nossa solução fica
Ainda precisamos achar !
E agora derivando a solução para poder usar a segunda condição inicial:
E agora aplicando :
Tranquilo?
Passo 5
E agora nossa solução está bem determinada:
Com e :
E a alternativa que nos diz isso é a (a). Show!
Espero ter ajudado!