UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 6 – Questão 21
Sejam e soluções particulares das equações e , respectivamente. Então, é uma solução de .
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
Para uma função ser solução particular de uma equação diferencial, ela deve satisfazer essa equação diferencial. Isso significa que, ao derivarmos essa função e substituirmos na equação diferencial completa (com uma função no lado direito da igualdade) isso será uma verdade matemática.
Então se é solução particular, então, da equação diferencial dada:
Derivando e substituindo temos
Seja qual for a expressão de , a função tem que satisfazer essa equação.
E isso também se aplica para a segunda solução !
Se ela for solução da equação diferencial
Isso quer dizer que
Beleza até aqui?
Guarda essas duas condições na manga! Elas serão úteis lá adiante!
Passo 2
O problema pergunta se é solução para a equação diferencial
Bom, como já comentei, mas não custa nada relembrar, para uma função (ou combinação e funções) ser solução de uma equação diferencial, ela deve satisfazer a equação diferencial. Isto é: pegar essa candidata a solução, derivar (quantas vezes forem preciso, aqui serão necessárias até a derivada segunda) e substituir tudo na equação diferencial se encontrarmos uma igualdade matemática (tipo ), então essa candidata é solução da equação diferencial!
Então é isso que vou fazer a seguir: verificar se a candidata é solução da equação diferencial .
Passo 3
Nossa candidata é:
Agora precisamos derivar isso, duas vezes!
Você viu em cálculo 1 que a derivada da soma é a soma da derivada:
E isso serve para a derivada segunda também!
Certo?
Agora vou substituir isso na equação diferencial que o problema pediu para testar a candidata a solução:
Tranquilo?
Passo 4
Agora vou reorganizar esses termos da seguinte forma: agrupando tudo que for em (e suas derivadas) e tudo que for em (e suas derivadas também), porque assim a gente pode usar o fato de que essas funções são soluções e podemos usar as igualdades do passo 1:
E agora vamos voltar lá para as condições que pedi para você guardar do passo 1!
A primeira condição nos dizia que:
Então podemos substituir aquele primeiro colchete à esquerda por !
E a segunda condição? Ah, ela nos dizia que:
Então o outro colchete do lado esquerdo pode ser substituído por !
Sacou? Quando as funções são individualmente soluções de uma determinada equação diferencial, podemos sempre reorganizar os termos para encontrarmos dentro de um outra equação diferencial, a equação diferencial que temos a solução.
Sendo assim, podemos usar essas igualdades na nossa equação “” do início do passo , saca só:
Olha só! Encontramos uma verdade matemática! Isso quer dizer que a nossa candidata a solução (que é a soma de outras duas soluções)
É solução da nossa equação diferencial!
Sendo assim, a afirmativa está correta.
E a opção certa é: verdadeiro
Até a próxima!