Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

Ver Teoria

Enunciado

Assinale qual dos seguintes pares de funções são soluções da equação homogênea associada à equação 1 - x y ' ' + x y ' - y = 5 ln ⁡ x + x 3 .

  1. y 1 x = e x ,   y 2 x = x + 1
  2. y 1 x = e x ,   y 2 x = x
  3. y 1 x = e - x ,   y 2 x = x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema deu uma equação diferencial

1 - x y ' ' + x y ' - y = 5 ln ⁡ x + x 3

E mandou assinalar qual dos pares de funções dadas são soluções da equação HOMOGÊNEA ASSOCIADA.

Vamos primeiro ver quem é essa equação homogênea: é quando a gente coloca zero do lado direito da equação diferencial!

1 - x y ' ' + x y ' - y = 0

Isso mesmo! Sumimos com aquele 5 ln ⁡ x + x 3 feioso!

E agora precisamos descobrir qual par de funções y 1 e y 2 são soluções pra essa equação.

Bom, descobrir isso é bem tranquilo: uma solução de uma equação diferencial é aquela função que satisfaz essa equação diferencial. Ou seja, se a gente substituir a solução y onde tem y na equação, a derivada dela y '   na equação e a derivada segunda y ' ' também na equação, e der uma igualdade matemática (tipo 0 = 0 ou número =   número), então essa função é sim solução da equação diferencial.

Então é chute mesmo! É ir testando cada uma das duplas de funções dadas até achar a alternativa na qual as duas funções dadas são soluções.

Passo 2

Vamos começar testando o primeiro par:

y 1 x = e x ,   y 2 x = x + 1

Como temos uma dupla, cada função deve satisfazer a equação separadamente. Para que esse par seja o escolhido, as duas funções y 1 e y 2 precisam ser solução, ou seja, quando derivarmos e substituirmos, precisamos que as duas nos forneçam uma igualdade matemática.

Começando pela y 1 = e x

A função:

y = e x

A primeira derivada:

y ' = e x

E a segunda derivada:

y ' ' = e x

A equação diferencial é

1 - x y ' ' + x y ' - y = 0

Agora é só substituir a função y e suas derivadas y ' e y ' ' :

1 - x e x + x e x - e x = 0

e x - x e x + x e x - e x = 0

0 = 0

Oba! Encontramos uma igualdade matemática!

a função y 1 = e x é solução da equação diferencial!

Fica ligadinho! Se ela não fosse, a gente encontraria algo do tipo:

- 2 = 0

Ou ainda

x - 3 = 0

Se a gente encontrasse qualquer coisa assim, a função não seria solução.

Mas no nosso caso y 1 = e x é sim solução e tá tudo certo até agora.

Precisamos testar a y 2 .

Passo 3

Agora a y 2 = x + 1

A derivada primeira

y ' = 1

E a segunda

y ' ' = 0

Agora é só substituir na equação diferencial

1 - x y ' ' + x y ' - y = 0

1 - x 0 + x . 1 - ( x + 1 ) = 0

0 + x - x - 1 = 0

- 1 = 0

Poxa vida! Que triste! Encontramos uma sentença matemática impossível!

Isso significa que y 2 = x + 1 não é solução dessa equação diferencial! E, portanto, a dupla de soluções da letra (a) NÃO é nossa dupla!

Mas como sempre tem um lado bom de tudo: descobrimos que e x é sim solução! Então podemos testar outra dupla que tenha como uma candidata essa mesma função!

Passo 4

Vamos relembrar as alternativas:

  1. y 1 x = e x ,   y 2 x = x + 1
  2. y 1 x = e x ,   y 2 x = x
  3. y 1 x = e - x ,   y 2 x = x

Testamos a dupla (a) e não rolou. Mas sabemos que e x é solução, então podemos testar a solução y 2 da dupla (b), pois já sabemos que a y 1 da (b) é solução! Já é meio caminho andado!

Testando então y 2 = x

Precisamos derivar duas vezes:

y ' = 1

y ' ' = 0

E agora substituir na equação diferencial:

1 - x y ' ' + x y ' - y = 0

1 - x . 0 + x . 1 - ( x ) = 0

0 + x - x = 0

0 = 0

Uhu! Encontramos uma igualdade matemática! Portanto as duas soluções dadas na letra (b) são soluções dessa equação diferencial!

Você pode fazer como exercício testar as outras e verificar que não são soluções =)

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( b )

Exercícios de Livros Relacionados

20. y^((4)) - 8 y^' = 0
21. y^((8)) + 8 y^((4)) + 16 y = 0
Em cada um dos problemas de 29 a 36, encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando t → ∞ ?29. y ' ' ' + y ' = 0 ;y 0 = 0 , y ' 0 = 1 ,y ' '
Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. y ' ' ' + y ' ' - 2 y = 0
3. Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais:a) f ' = 0 ; b) f n = 0 c) f ' = f d) f ' = a fa∈ R .