UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 6 – Questão 18
Assinale qual dos seguintes pares de funções são soluções da equação homogênea associada à equação .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema deu uma equação diferencial
E mandou assinalar qual dos pares de funções dadas são soluções da equação HOMOGÊNEA ASSOCIADA.
Vamos primeiro ver quem é essa equação homogênea: é quando a gente coloca zero do lado direito da equação diferencial!
Isso mesmo! Sumimos com aquele feioso!
E agora precisamos descobrir qual par de funções e são soluções pra essa equação.
Bom, descobrir isso é bem tranquilo: uma solução de uma equação diferencial é aquela função que satisfaz essa equação diferencial. Ou seja, se a gente substituir a solução onde tem na equação, a derivada dela na equação e a derivada segunda também na equação, e der uma igualdade matemática (tipo ou número número), então essa função é sim solução da equação diferencial.
Então é chute mesmo! É ir testando cada uma das duplas de funções dadas até achar a alternativa na qual as duas funções dadas são soluções.
Passo 2
Vamos começar testando o primeiro par:
Como temos uma dupla, cada função deve satisfazer a equação separadamente. Para que esse par seja o escolhido, as duas funções e precisam ser solução, ou seja, quando derivarmos e substituirmos, precisamos que as duas nos forneçam uma igualdade matemática.
Começando pela
A função:
A primeira derivada:
E a segunda derivada:
A equação diferencial é
Agora é só substituir a função e suas derivadas e :
Oba! Encontramos uma igualdade matemática!
a função é solução da equação diferencial!
Fica ligadinho! Se ela não fosse, a gente encontraria algo do tipo:
Ou ainda
Se a gente encontrasse qualquer coisa assim, a função não seria solução.
Mas no nosso caso é sim solução e tá tudo certo até agora.
Precisamos testar a .
Passo 3
Agora a
A derivada primeira
E a segunda
Agora é só substituir na equação diferencial
Poxa vida! Que triste! Encontramos uma sentença matemática impossível!
Isso significa que não é solução dessa equação diferencial! E, portanto, a dupla de soluções da letra (a) NÃO é nossa dupla!
Mas como sempre tem um lado bom de tudo: descobrimos que é sim solução! Então podemos testar outra dupla que tenha como uma candidata essa mesma função!
Passo 4
Vamos relembrar as alternativas:
Testamos a dupla (a) e não rolou. Mas sabemos que é solução, então podemos testar a solução da dupla (b), pois já sabemos que a da (b) é solução! Já é meio caminho andado!
Testando então
Precisamos derivar duas vezes:
E agora substituir na equação diferencial:
Uhu! Encontramos uma igualdade matemática! Portanto as duas soluções dadas na letra (b) são soluções dessa equação diferencial!
Você pode fazer como exercício testar as outras e verificar que não são soluções =)
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!