UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Listas da Prof. Thaís Dalbelo – Lista 1 – 5b
Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma .
b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos responder essa questão.
O enunciado nos deu uma EDO homogênea de segunda ordem e uma função exponencial . Ele quer que a gente verifique os valores de para os quais a EDO tem uma solução na forma . Lembra como é que faz isso?
Nós precisamos derivar a nossa função exponencial, substituir na EDO e verificar os valores de igualando a equação a zero.
Vamos lá!?
Passo 2
Vamos começar derivando :
Vamos precisar derivar novamente, então vamos lá:
Lembra da regra do produto na derivação? Ela tem a forma:
Como nós temos um produto de duas funções, e , vamos precisar aplica-la. Assim:
Ou seja,
Passo 3
Agora vamos substituir tudo na nossa EDO:
Não esquece que , beleza? Por isso a gente substituiu ele ali também. Agora vamos colocar em evidência:
Resolvendo dentro dos parênteses:
Como a função exponencial nunca é zero, pra que essa igualdade seja verdadeira, temos que:
Isolando :
E o quê que isso quer dizer? Quer dizer que esse é o valor que deve assumir para que seja solução da nossa EDO. Fechou?
Valeu, galera! Até a próxima! 😉