UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - Avaliação EDO Alta Ordem 2020.2, Questão 1l
Determine a solução geral das EDO’s homogêneas:
l)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma EDO não homogênea de terceira ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Beleza, mas como a gente resolve isso?
Pra construir nossa solução geral, nós vamos precisar de uma solução pra EDO homogênea, fazendo , e uma solução particular que vai ter o mesmo formato da função que tá no lado direito da equação ().
Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem também podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução da parte homogênea é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.
Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:
Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:
E, por fim, se as raízes forem complexas com , temos uma solução da forma:
Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar resolvendo a EDO homogênea:
Temos a equação característica:
Colocando em evidência:
Pra que esse produto seja igual a zero, ou . Daí, podemos descobrir as raízes dessa equação do segundo grau usando Bhaskara:
Logo, temos da equação as raízes:
Passo 3
Repare que nós temos três raízes reais e distintas, então nossa solução homogênea tem a forma:
Substituindo as nossas raízes:
Passo 4
Pra encontrar nossa solução particular, vamos olhar pra forma da função do lado direito da equação, que é . Apesar da gente ter uma equação polinomial do primeiro grau, nós vamos usar um polinômio de segundo grau pra construir nossa solução particular. Isso porque, nossa derivada de menor ordem é de primeiro grau, então se a gente usasse um polinômio de primeiro grau, ele seria derivado e perderíamos nosso .
Assim, vamos ter:
Derivando nossa equação, temos:
Vamos derivar mais duas vezes:
Substituindo e na equação , temos:
Vamos igualar os termos de mesma ordem:
Da primeira equação, temos:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo todos os coeficientes em , temos nossa solução particular:
Juntando a solução homogênea com a solução particular, temos nossa solução geral:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉