UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - Avaliação EDO Alta Ordem 2020.2, Questão 1e
Determine a solução geral das EDO’s homogêneas:
e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma EDO homogênea de quarta ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Beleza, mas como a gente resolve isso?
Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem também podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.
Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:
Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:
E, por fim, se as raízes forem complexas com , temos uma solução da forma:
Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.
Vamos lá!
Passo 2
Para a nossa EDO:
Temos a equação característica:
Pra ficar mais fácil de descobrir as raízes dessa equação, vamos chamar e aí, nós teremos . Substituindo na equação característica, temos:
Assim, nós podemos resolver como uma equação do segundo grau, usando Bhaskara:
Achamos o valor de , mas nós definimos , logo:
Repare que e temos duas raízes complexas de multiplicidade dois (duas raízes iguais em cada par), já que nossa equação é de quarta ordem.
Então, nossa solução se encaixa no terceiro caso, das raízes complexas, mas como elas se repetem, a gente apenas multiplica nos dois últimos termos. Fica assim:
Show!?
Até a próxima, galera! 😉