Nos exercícios e resolva o PVI.
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Passo 1
E lá vamos nós resolver mais essa EDO homogênea.
Se colocarmos na forma da equação característica
Manipulando um pouquinho
E já encontramos uma raiz
Passo 2
Agora ficamos com
Que de cara da pra ver uma raiz, .
A próxima coisa a fazer para encontrar as outras raízes, é diminuir o grau da nossa equação, usando o método de Briot-Ruffini. Lembra como funcionava?
A primeira coisa a fazer é escrever essa equação completa, colocando vezes o elevado aos graus que não aparecem.
Agora montamos o seguinte quadrinho
No canto superior esquerdo colocamos os coeficientes da nossa equação, no canto superior direito colocamos o valor na nossa raiz.
Agora nós fazemos os seguintes passos. Primeiro descemos o primeiro coeficiente, que vai ficar
O próximo passo é multiplicar esse número que baixamos pelo número ali no canto superior direito, e depois somar com o próximo coeficiente.
Nesse caso fazemos
Esse primeiro é o coeficiente, o é nossa raiz ali no canto esquerdo, e aquele -2 é o próximo coeficiente.
Vamos achar , colocamos esse valor embaixo do coeficiente , ficando
Deu para dar uma lembrada de Briot-Rufini né? Repetindo isso até terminar o método, vamos ficar com
Então nossa equação reduzida fica
Passo 3
Entrando as raízes dessa nova equação
Ficamos com
Ou seja, temos uma raiz tripla
Passo 4
O próximo passo é encontrar a solução relacionada a cada uma das raízes que determinamos.
Atenção aqui! Lembre-se que quando temos raízes múltiplas, precisamos multiplicar a solução por e no nosso caso temos uma raiz tripla. Então a solução para essa raiz será:
Então a solução geral será:
Passo 5
Por fim, precisamos aplicar as condições iniciais para encontrar a solução do PVI. Para isso precisamos derivar a nossa solução geral, vai ficar grandinho, mas vamos lá com paciência:
Aplicando as condições
Resolvendo o sistema encontramos
E a solução do PVI é: