1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto x 0 indicado.

b. f x = x 3 e x 0 = 8

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos calcular a derivada em um determinado ponto , f ' x 0 , usando a definição.

Para quem lembra o calculo é esse:

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

Agora vamos aplicar para calcular o nosso f ' x 0 .

Passo 2

O enunciado nos forneceu quem são f x e x 0 . Substituindo na definição, ficamos com

f ' 8 = lim x → 8 ⁡ x 3 - 8 3 x - 8

f ' 8 = lim x → 8 ⁡ x 3 - 2 x - 8

Se aplicarmos 8 nesse limite, caíremos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Olha só:

f ' 8 = lim x → 8 ⁡ x 3 - 2 x - 8 = 8 3 - 2 8 - 8 = 0 0

Então bora sair dessa indeterminação!

Passo 3

Temos o seguinte limte:

lim x → 8 ⁡ x 3 - 2 x - 8

Para sair dessa indeterminação, precisamos lembrar um pouco de produtos notáveis.

Lembra que:

a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 )

c 2 - d 2 = ( c + d ) ( c - d )

Portanto, vamos aplicar o primeiro produto notável sugerido no numerador, que tem raízes cúbicas. Faremos a = x 3 e b = 2 :

a - b a 2 + a b + b 2 = a 3 - b 3

x 3 - 2 x 3 2 + 2 x 3 + 2 2 = x 3 3 - 2 3 = x - 8

Ou seja, devemos multiplicar em cima e embaixo o conjugado x 3 2 + 2 x 3 + 2 2 para gerar x - 8 em cima.

Passo 4

Substituindo na expressão:

lim x → 8 ⁡ x 3 - 2 x - 8 = lim x → 8 ⁡ x 3 - 2 x - 8 x 3 2 + 2 x 3 + 2 2 x 3 2 + 2 x 3 + 2 2

lim x → 8 ⁡ x 3 - 2 x - 8 = lim x → 8 ⁡ x - 8 x - 8 x 3 2 + 2 x 3 + 2 2

lim x → 8 ⁡ x 3 - 2 x - 8 = lim x → 8 ⁡ 1 x 3 2 + 2 x 3 + 2 2

Calculando o limite, ficamos com

lim x → 8 ⁡ 1 x 3 2 + 2 x 3 + 2 = lim x → 8 ⁡ 1 8 3 2 + 2 8 3 + 2 = 1 4 + 4 + 4 = 1 12

Logo,

f ' 8 = 1 12

Resposta

1 12

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