Seja f x = x - 2 2 s e n x 3 3 . Determine, caso existam:

  • f ' 0
  • f ' 2
  • f ' ( - 2 )

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

O problema tá trazendo pra gente uma questão que é: como a gente calcula a derivada da função dada nos pontos especificados?

Para verificar se a derivada existe, precisamos fazer x tender ao valor do ponto especificado!!

f ' i = f x - f i x - i  

Opa, uma vez que conhecemos a definição da derivada podemos calcular os valores das derivadas pedidos no enunciado.

Passo 2

Vamos precisar calcular então nosso f ( i ) pra cada derivada pedida!

f 0 = 0 - 2 2 s e n 0 3 3 = 0

Então vamos calcular nossa primeira derivada!

f ' ( 0 ) = x - 2 2 s e n x 3 3 x - 0  

Vamos resolver esse limite agora:

1 x   x - 2 2 s e n x 3 3

Note que podemos colocar esse x pra dentro da raiz cúbica:

l i m x → 0 x - 2 2 s e n x 3 x 3 3

Você se lembra de um teorema que temos que relaciona sen(x)/x?

s e n x x = 1  

Opa, então isso quer dizer que

s e n x 3 x 3 = 1  

E portanto, temos que:

l i m x → 0 x - 2 2 s e n x 3 x 3 3 = l i m x → 0 x - 2 2 1 3

Logo,

f ' 0 = 4 3

Passo 3

De maneira análoga, temos que:

f 2 = 0

f ' ( 2 ) = x - 2 2 s e n x 3 3 x - 2  

x - 2 2 s e n x 3 3 x - 2  

Novamente, vamos usar nossa tática da malandragem e colocar o denominador pra dentro da raiz cúbica.

l i m x → 2 x - 2 2 s e n x 3 x - 2 3 3

l i m x → 2 x - 2 2 s e n x 3 x - 2 3 3

l i m x → 2 s e n x 3 ( x - 2 ) 3 = ∞

Logo, não existe f ' ( 2 ) , uma vez que seu valor não é finito.

Passo 4

Note que nesse item 3 existe um intervalo aberto em torno de x 0 = - 2 no qual a expressão de f é obtida a partir de produtos e compostas de funções deriváveis em x 0 = - 2 , permintindo aplicação das regras de derivação.

Aplicando a regra da cadeia na função dada no enunciado

f ' x 0 = 1 3 x 0 - 2 2 s e n x 0 3 2 3 2 x 0 - 2 s e n x 0 3 + x 0 - 2 2 c o s c o s   x 0 3   3 x 0 2

Beleza, agora vamos fazer x 0 = - 2

Logo, temos:

f ' - 2 = 2 s e n 8 + 48 c o s c o s   8   3 4 s e n 2 8 3

Resposta

a 4 3

b N ã o   e x i s t e

( c ) 2 s e n 8 + 48 c o s c o s   8   3 4 s e n 2 8 3

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