1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto x 0 indicado.

g. f x = 4 x + 3 5 e x 0 = - 3

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos calcular a derivada em um determinado ponto , f ' x 0 , usando a definição.

Para quem lembra o calculo é esse:

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

Agora vamos aplicar para calcular o nosso f ' x 0 .

Passo 2

O enunciado nos forneceu quem são f x e x 0 . Substituindo na definição, ficamos com

f ' - 3 = lim x → - 3 ⁡ 4 x + 3 5 - 4 - 3 + 3 5 x - - 3

f ' - 3 = lim x → - 3 ⁡ 4 x + 3 5 - 1 x + 3

Se aplicarmos - 3 nesse limite, caíremos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Olha só:

f ' - 3 = lim x → - 3 ⁡ 4 x + 3 5 - 1 x + 3 = 0 0

Então bora sair dessa indeterminação!

Passo 3

Temos o seguinte limte:

lim x → - 3 ⁡ 4 x + 3 5 - 1 x + 3

Pelo limite fundamental exponencial, temos aqui

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a

Mas repara que o nosso x → - 3 e a não a zero. Então vamos fazer uma mudança de variável:

u = x + 3

u → 0

Com isso, ficamos com

lim u → 0 ⁡ 4 u 5 - 1 u

Temos então que a = 4 e aplicando o limite fundamental exponencial, ficamos com

lim u → 0 ⁡ - 4 u 5 - 1 u = ln ⁡ 4 1 / 5 = ln ⁡ 4 5 = 2 ln ⁡ 2 5

Logo,

f ' - 3 = 2 ln ⁡ 2 5

Resposta

2 ln ⁡ 2 5

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