Use a definição de derivada de uma função para calcular f ' x 0 e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto x 0 , f x 0

  1. f x = 1 x   e   x 0 = 1 2

Passo 1

E aí, galerinha! Vamos primeiro entender o que esse enunciado louco tá querendo dizer pra gente, beleza?

Bem, o mais importante é a gente lembrar a definição de derivada:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

E agora lembrar qual é a fórmula da reta tangente em um dado ponto.

y - f x 0 = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Vamos então fazer por etapa essa questão, primeiro fazendo sua derivada e depois encontrando a reta tangente.

Passo 2

Aplicando a definição de derivada, vamos ter:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 x + h - 1 x h = x - x + h x x + h h

f ' x = lim h → 0 ⁡ - h x x + h h = - 1 x x + h = - 1 x 2

Passo 3

Agora vamos encontrar nossa reta tangente:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

O enunciado nos deu o valor de x 0 = 1 2 , então vamos encontrar o valor de f ( x 0 ) e f ' x 0

f x 0 = 1 2 = 2

f ' x 0 = 1 2 = - 1 1 4 = - 4

Substituindo na definição, temos:

y - 2 = - 4 x - 1 2

y - 2 = - 4 x + 2

y = - 4 x + 4  

Resposta

f ' x = - 1 x 2

y = - 4 x + 4

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